Question

Не пользуясь правилом лопиталя​

Answer 1

2) $\lim_{x\to\infty} \frac{5x^2 + x + 2}{2x^2+1} =$

$= \lim_{x\to\infty} \frac{5+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}{2+\frac{1}{x^2}} =$

$= \frac{5}{2}$

5) $\lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{3x+1}-2}{x^2 -1} =$

$= \lim_{x\to 1} \frac{(\sqrt{3x+1}-2)\cdot(\sqrt{3x+1}+2)}{(x^2-1)\cdot(\sqrt{3x+1}+2)} =$

$= \lim_{x\to 1} \frac{(3x+1) - 2^2}{(x^2-1)\cdot(\sqrt{3x+1}+2)} =$

$= \lim_{x\to 1} \frac{3x-3}{(x^2-1)\cdot(\sqrt{3x+1}+2)} =$

$= \lim_{x\to 1} \frac{3\cdot(x-1)}{(x-1)(x+1)(\sqrt{3x+1}+2)} =$

$= \lim_{x\to 1} \frac{3}{(x+1)(\sqrt{3x+1}+2)} =$

$= \frac{3}{(1+1)(\sqrt{3\cdot 1+1}+2)} = \frac{3}{2\cdot(\sqrt{4}+2)} =$

$= \frac{3}{2\cdot 4} = \frac{3}{8}$

8) $\lim_{x\to 0} \frac{x\cdot\sin(3x)}{1-\cos(4x)} = L$

$1 - \cos(4x) = \cos^2(2x) + \sin^2(2x) - \cos^2(2x) + \sin^2(2x) =$

$= 2\sin^2(2x)$

$L = \lim_{x\to 0} \frac{x\cdot\sin(3x)}{2\sin^2(2x)} =$

$= \frac{1}{2}\cdot\lim_{x\to 0} \frac{x}{2x}\cdot\frac{3x}{2x} =$

$= \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2} = \frac{3}{8}$

10) $\lim_{x\to 3} (4-x)^{\frac{2}{3-x}} =$

$= \lim_{x\to 3} (1+(3-x))^{\frac{2}{3-x}} = L$

$y = 3-x$

$y\xrightarrow[x\to 3]{} 0$

$L = (\lim_{y\to 0} (1+y)^{\frac{1}{y}})^2 = e^2$