Question

Голова не варит(( дан шар , его объём = 36pi см*3. в шар вписан конус. 1)выразите радиус основания конуса(r) через высоту конуса(h) . дан радиус шара(r) = 3см. выразить нужно именно через высоту. 2) какова должна быть высота h конуса, чтобы объём конуса был наибольшим? , )

Answer 1

Разрежем шар вдоль оси конуса... Получим на срезе равнобедренный треугольник вписанный в окружность...

Соединим центр окружности с вершинами треугольника...

Получим еще один треугольник с вершинами в двух точках основания конуса и в центре шара... Этот треугольник равнобедренный со сторонами равными радиусу шара R и высотой равной разности (h-R). Половина его основания вычисляется по теореме Пифагора...

r^2 = R^2 - (h-R)^2 = 2Rh - h^2

1) Если известен радиус шара R=3, то радиус основания конуса равен r = sqrt(6h - h^2)

2) Объем конуса равен $V = \frac{\pi h r^2}{3} = \frac{\pi}{3}h(6h - h^2) = 2\pi h^2 - \frac{\pi h^3}{3}\\ V' = 4\pi h - \pi h^2 = \pi h (4-h)$

Функция обема конуса возрастает при h<4 и убывает при h>4

Следовательно максимальный объем будет при h=4