Чтобы найти значения коэффициента c, с которым прямая пересекает окружность, мы должны подставить уравнение прямой в уравнение окружности и решить полученное уравнение относительно c.
Итак, у нас есть два уравнения:
1) Уравнение окружности: x^2 + y^2 = 18
2) Уравнение прямой: x + y + c = 0
Сначала заменим уравнение прямой в уравнение окружности:
(x + y + c)^2 + y^2 = 18
Раскроем скобки:
x^2 + 2xy + 2cx + y^2 + 2cy + c^2 + y^2 = 18
Сгруппируем похожие слагаемые:
x^2 + y^2 + y^2 + 2xy + 2cx + 2cy + c^2 = 18
Суммируем y^2 с y^2:
x^2 + 2y^2 + 2xy + 2cx + 2cy + c^2 = 18
Теперь мы видим, что у нас есть уравнение относительно x и y, а также c.
Объединим слагаемые с y:
x^2 + 2y^2 + 2xy + 2cy + 2cx + c^2 = 18
Теперь мы хотим выразить y через x, поэтому перенесем слагаемые с y на одну сторону уравнения:
2y^2 + (2x + 2c)y + (x^2 + 2cx + c^2 - 18) = 0
Заметим, что это квадратное уравнение относительно y. Теперь мы можем использовать формулу дискриминанта для его решения:
Обратите внимание, что у нас получается тождественное уравнение, что означает, что квадратное уравнение имеет бесконечное количество решений для y при фиксированных значениях x. Это заставляет нас заключить, что прямая касается окружности.
Теперь, чтобы найти c через точку касания, мы можем использовать факт, что при касании окружности и прямой в данной точке, две касательные имеют общую точку касания или касаются в одной точке. Если мы знаем, что (a,b) - точка касания, то мы можем подставить эти значения в уравнение прямой и решить его относительно c:
a + b + c = 0
Зная, что x = a и y = b, подставим их в уравнение прямой:
a + b + c = 0
c = -a - b
Таким образом, значения коэффициента c, с которым прямая касается окружности, могут быть выражены через точку касания (a,b) как c = -a - b.
Чтобы найти значения коэффициента c, с которым прямая пересекает окружность, мы должны подставить уравнение прямой в уравнение окружности и решить полученное уравнение относительно c.
Итак, у нас есть два уравнения:
1) Уравнение окружности: x^2 + y^2 = 18
2) Уравнение прямой: x + y + c = 0
Сначала заменим уравнение прямой в уравнение окружности:
(x + y + c)^2 + y^2 = 18
Раскроем скобки:
x^2 + 2xy + 2cx + y^2 + 2cy + c^2 + y^2 = 18
Сгруппируем похожие слагаемые:
x^2 + y^2 + y^2 + 2xy + 2cx + 2cy + c^2 = 18
Суммируем y^2 с y^2:
x^2 + 2y^2 + 2xy + 2cx + 2cy + c^2 = 18
Теперь мы видим, что у нас есть уравнение относительно x и y, а также c.
Объединим слагаемые с y:
x^2 + 2y^2 + 2xy + 2cy + 2cx + c^2 = 18
Теперь мы хотим выразить y через x, поэтому перенесем слагаемые с y на одну сторону уравнения:
2y^2 + (2x + 2c)y + (x^2 + 2cx + c^2 - 18) = 0
Заметим, что это квадратное уравнение относительно y. Теперь мы можем использовать формулу дискриминанта для его решения:
D = (2x + 2c)^2 - 4 * 2 * (x^2 + 2cx + c^2 - 18)
Раскроем скобки:
D = 4x^2 + 8cx + 4c^2 - 8x^2 - 32cx - 4c^2 + 144
Упростим:
D = -4x^2 - 24cx + 144
Теперь заменим D в формуле дискриминанта:
D = b^2 - 4ac
-4x^2 - 24cx + 144 = (2x + 2c)^2 - 4 * 2 * (x^2 + 2cx + c^2 - 18)
Раскроем скобки:
-4x^2 - 24cx + 144 = 4x^2 + 8cx + 4c^2 - 8x^2 - 32cx - 4c^2 + 144
Упростим:
-4x^2 - 24cx + 144 = -4x^2 - 24cx + 144
Обратите внимание, что у нас получается тождественное уравнение, что означает, что квадратное уравнение имеет бесконечное количество решений для y при фиксированных значениях x. Это заставляет нас заключить, что прямая касается окружности.
Теперь, чтобы найти c через точку касания, мы можем использовать факт, что при касании окружности и прямой в данной точке, две касательные имеют общую точку касания или касаются в одной точке. Если мы знаем, что (a,b) - точка касания, то мы можем подставить эти значения в уравнение прямой и решить его относительно c:
a + b + c = 0
Зная, что x = a и y = b, подставим их в уравнение прямой:
a + b + c = 0
c = -a - b
Таким образом, значения коэффициента c, с которым прямая касается окружности, могут быть выражены через точку касания (a,b) как c = -a - b.