Пусть α и β — данные плоскости, a1 и a2 — пересекающиеся прямые в плоскости α , а b1 и b2 — соответственно параллельные им прямые в плоскости β .
Допустим, что плоскости α и β не параллельны, то есть, они пересекаются по некоторой прямой c .
Прямая a1 параллельна прямой b1 , значит, она параллельна и самой плоскости β .
Прямая a2 параллельна прямой b2 , значит, она параллельна и самой плоскости β (признак параллельности прямой и плоскости).
Прямая c принадлежит плоскости α , значит, хотя бы одна из прямых — a1 или a2 — пересекает прямую c , то есть имеет с ней общую точку. Но прямая c также принадлежит и плоскости β , значит, пересекая прямую c , прямая a1 или a2 пересекает плоскость β , чего быть не может, так как прямые a1 и a2 параллельны плоскости β .
Из этого следует, что плоскости α и β не пересекаются, то есть, они параллельны.
Свойства параллельных плоскостей
Теорема 1. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.
Внезапно изменилось сновиденье. Увидел я усадьбу и коня Оседланного пред старинным домом. В часовне старой, бледен и один, Тот самый юноша шагал в волненье. Потом присел к столу, схватил перо И написал письмо, но я не мог Прочесть слова. Он голову руками, Поникнув, обхватил и весь затрясся, Как от рыданий, и потом, вскочив, Написанное разорвал в клочки, Но слез я на глазах его не видел. Себя принудил он и принял вид Спокойствия, и тут вновь появилась Пред ним владычица его любви. Она спокойно улыбалась, зная, Что им любима, - ведь любви не скроешь, И что душа его омрачена Ее же тенью, и что он несчастен. Она и это знала, но не все. Он вежливо и холодно коснулся Ее руки, и по его лицу Скользнула тень невыразимых мыслей, - Мелькнула и пропала в тот же миг. Он руку выпустил ее и молча Покинул зал, не попрощавшись с ней. Они расстались, улыбаясь оба. И медленно он вышел из ворот, И вспрыгнул на коня, и ускакал, И больше в старый дом не возвращался.
Доказательство.
Пусть α и β — данные плоскости, a1 и a2 — пересекающиеся прямые в плоскости α , а b1 и b2 — соответственно параллельные им прямые в плоскости β .
Допустим, что плоскости α и β не параллельны, то есть, они пересекаются по некоторой прямой c .
Прямая a1 параллельна прямой b1 , значит, она параллельна и самой плоскости β .
Прямая a2 параллельна прямой b2 , значит, она параллельна и самой плоскости β (признак параллельности прямой и плоскости).
Прямая c принадлежит плоскости α , значит, хотя бы одна из прямых — a1 или a2 — пересекает прямую c , то есть имеет с ней общую точку. Но прямая c также принадлежит и плоскости β , значит, пересекая прямую c , прямая a1 или a2 пересекает плоскость β , чего быть не может, так как прямые a1 и a2 параллельны плоскости β .
Из этого следует, что плоскости α и β не пересекаются, то есть, они параллельны.
Свойства параллельных плоскостей
Теорема 1. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.