В параллелограмме ABCD биссектрисы углов B и C пересекаются в точке M, лежащей на стороне AD.
Найдите площадь параллелограмма ABCD, если BM=9, BC=15
---------------
Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180º ( углы при параллельных прямых и секущей).
Cумма половин этих углов в ∆ СМВ равна 180º:2=90º, ⇒
∠СМВ=180º-90º= 90º.
В ⊿ СМВ отношение катета ВМ и гипотенузы СВ равно 3:5, из чего следует, что ⊿ СМВ–египетский, и СМ=12 ( можно проверить по т.Пифагора).
S ⊿ СМВ=СМ•BM:2=12•9:2=54
Биссектриса СМ отсекает от АВСD равнобедренный треугольник CDM ( накрестлежащие углы равны половине угла ВСD)⇒ СD=МD
На том же основании ∆ МАВ равнобедренный и АМ=АВ
Но СD=АВ ⇒ DM=AM, и стороны СВ и AD равны по 2 АВ.
Проведем МК || СD|| АВ. МК - медиана ⊿ СМВ и делит его на равные по площади треугольники.
В четырехугольниках СКМD и МКВА стороны равны и параллельны,⇒ они - ромбы.
Площадь каждого ромба равна площади ⊿ СМВ ( состоит из 2-х равных по площади половин ⊿ СМВ).
S ABCD=2S СМВ=2•54=108 (ед. площади).
ответ:Докажем от противного. Предположим, что никто не решил не более 4 задач. По условию количество учеников решивших по 2, по 3 и по 4 задач не менее одного. Так как по условию количество учащихся 14, то количество учеников решивших по 2, по 3 и по 4 задач не более 12 (=14-1-1). Введём обозначения:
x - количество решивших 2 задачи (1≤x≤12), y - количество решивших 3 задачи (1≤y≤12), z - количество решивших 4 задачи (1≤z≤12).
По условию количество учащихся 14, то есть x+y+z=14.
Главное условие задачи: все ученики вместе решили 58 задач, и поэтому должен быть справедливо равенство
2·x+3·y+4·z=58
для некоторых значений x, y и z.
Так как все числа натуральные, то наибольшее значение выражение получим, если z принимает наибольшее значение, то есть z=12. Но тогда x=1, y=1 и:
2·1+3·1+4·12=2+3+48=53<58.
Последнее противоречить главному условию задачи.
Отсюда следует, что некоторые из участников олимпиады решили не менее 5 задач.
Найдём количество учеников решивших определённое количество задач.
Пусть теперь x - количество решивших 2 задачи (1≤x≤11), y - количество решивших 3 задачи (1≤y≤11), z - количество решивших 4 задачи (1≤z≤11), t - количество решивших 5 задач (1≤t≤11).
По условию количество учащихся 14, то есть x+y+z+t=14.
Главное условие задачи: все ученики вместе решили 58 задач, и поэтому должен быть справедливо равенство
2·x+3·y+4·z+5·t=58
для некоторых значений x, y, z и t.
Если x=3, y=1, z=1 и t=9, то получаем нужный результат:
2·3+3·1+4·1+5·9=58!
Пошаговое объяснение: