1. Сечение шара - круг. Площадь круга: S = πr².
S₁ = πr₁² = 25π ⇒ r₁ = 5
S₂ = πr₂² = 144π ⇒ r₂ = 12
Отрезок, соединяющий центр шара с центром сечения, перпендикулярен сечению.
Обозначим ОС = х, тогда OS = 17 - х.
Из прямоугольных треугольников ОСА и OSB выразим радиус шара по теореме Пифагора:
R² = (17 - x)² + r₁² = (17 - x)² + 25
R² = x² + r₂² = x² + 144
(17 - x)² + 25 = x² + 144
289 - 34x + x² + 25 = x² + 144
34x = 170
x = 5
R = √(x² + 144) = √(25 + 144) = √169 = 13
Sпов. шара = 4πR² = 4 · π · 169 = 676π
2. Так как вершины квадрата лежат на сфере, то квадрат вписан в сечение сферы, в окружность, центр которой лежит в точке пересечения диагоналей квадрата.
Отрезок, соединяющий центр сферы с центром сечения, перпендикулярен сечению. Тогда SD - проекция наклонной OD на плоскость АВС, значит ∠SDO = 60° - угол между радиусом и плоскостью АВС.
OS - искомое расстояние.
BD = 12√2 как диагональ квадрата,
SD = 6√2.
Из прямоугольного треугольника SOD:
tg 60° = SO / SD
SO = SD · tg 60° = 6√2 · √3 = 6√6
3. Так как стороны треугольника касаются шара, то круг - сечение шара - вписан в треугольник.
Отрезок, соединяющий центр шара с центром сечения, перпендикулярен сечению.
OS = √2 - расстояние от центра шара до плоскости треугольника.
Полупериметр треугольника АВС:
p = (8 + 10 + 12)/2 = 15
По формуле Герона:
Sabc = √(p·(p - AB)·(p - BC)·(p - AC))
Sabc = √(15 · 7 · 5 · 3) = √(5 · 3 · 7 · 5 · 3) = 15√7
Sabc = p·r, где r = SK - радиус вписанной окружности.
p · SK = 15√7
SK = 15√7 / 15 = √7
Из прямоугольного треугольника SOK по теореме Пифагора:
ОК = √(SK² + OS²) = √(7 + 2) = √9 = 3
R = 3
4. Ядро - шар. Если его переплавили в конус, значит объем шара и конуса одинаков.
Пусть R = 1 - радиус шара, r - радиус конуса.
Vшара = 4/3 π R³ = 4/3π
Vконуса = 1/3 πr² · h = 4/3π, отсюда
r² · h = 4
Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом основания и образующей конуса, по теореме Пифагора:
r² + h² = 6
Получили систему уравнений:
r² · h = 4
r² + h² = 6
r² = 6 - h²
(6 - h²) · h = 4 (2)
Решим второе:
6h - h³ = 4
h³ - 6h + 4 = 0
(h - 2)(h² + 2h - 2) = 0
h = 2
или
h² + 2h - 2 = 0
D/4 = 1 + 2 = 3
h = - 1 - √3 - не подходит по смыслу задачи, или
h = - 1 + √3 - не подходит по условию, так как высота не меньше 1.
ответ: h = 2
36 распилов.
Пошаговое объяснение:
Чтобы распилить на чурбаки длиной 1 м бревно длиной 4 м, нужно 3 распила, а чтобы распилить на такие же чурбаки бревно длиной 5 м, нужно 4 распила.
Чтобы общая длина всех брёвен была равна 45 м, необходимо, чтобы число брёвен длиной 4 м была кратна 5. Поэтому возможны следующие 3 варианта:
1. Все брёвна длиной 5 м.
Всего получается 45:5=9 брёвен. Число распилов 9×4=36.
2. 5 брёвен длиной 4 м.
Суммарная длина четырёхметровых брёвен 4×5=20 м.
Суммарная длина пятиметровых брёвен 45-20=25 м.
Всего пятиметровых брёвен 25:5=5.
Общее число распилов: 5×3+5×4=35.
3. 10 брёвен длиной 4 м.
Суммарная длина четырёхметровых брёвен 4×10=40 м.
Общая длина пятиметровых брёвен 45-40=5 м.
Всего пятиметровых брёвен 5:5=1.
Общее число распилов 10×3+1×4=34.
Наибольшее число распилов (36) получилось в случае, если все брёвна длиной 5 м.
1) 456*104+8907
а) 456*104= 47424
б) 47424+8907=56331
2) 56331*0= 0
3) 100-0=100
100-(456*104+8907)*0=100