Question

Функция у=у(х) задана в неявном виде уравнением: y + x= arctg(xy)

Найти производную первого порядка этой функции по переменной x.

Answer 1

Для решения этой задачи вам понадобятся знания о производных функций и правилах дифференцирования.

1. Начнем с неявного уравнения: y + x = arctg(xy). Наша задача - найти производную функции y по переменной x.

2. Дифференцируем обе части уравнения по переменной x, используя правила дифференцирования.

Дифференциал левой части равен:
d(y + x) = dy + dx

Дифференциал правой части равен:
d(arctg(xy))

3. Найдем производную каждого из слагаемых в левой части уравнения.

Производная по x от x равна 1:
dx = dx

Теперь найдем производную функции y по переменной x. Для этого нам понадобятся правила дифференцирования для сложной функции и для обратной функции.

Производная функции arctg(xy) по x найдется по формуле:
(arctg(xy))' = (1/(1 + (xy)^2)) * (x*y)'

где (x*y)' - производная произведения x и y.

4. Подставим найденные значения в дифференциалы и продолжим вычисления:

dy + dx = (1/(1 + (xy)^2)) * (x*y)'

5. Теперь наша задача - выразить производную y':

dy = (1/(1 + (xy)^2)) * (x*y)' - dx

Выразим x*y':
x*y' = (dy + dx) * (1 + (xy)^2)

Подставим эту формулу в выражение для dy:
dy = (1/(1 + (xy)^2)) * (dy + dx) * (1 + (xy)^2) - dx

6. Упростим полученное уравнение:

dy = (dy + dx) - dx

7. Выразим dy, как производную y по x:

dy = y' * dx

Теперь продолжим упрощение уравнения:

y' * dx = y'

y' * dx = y' - dx

8. Перенесем все слагаемые с y' на одну сторону уравнения:

y' * dx - y' = -dx

9. Выразим y':

y' (dx - 1) = -dx

y' = -dx / (dx - 1)

Это и есть производная первого порядка функции у=у(х) по переменной x.

Таким образом, производная первого порядка функции y = y(x) по x равна -dx / (dx - 1).

Пожалуйста, обратите внимание, что данная производная может быть записана в разных формах, например, с использованием общего знаменателя или представленной в виде отношения дифференциалов. В данном случае мы использовали второй подход.