Фигура, образованная графиками функций y=(x-4)^3 и y=2x-8, состоит из двух участков, так как имеется 3 точки пересечения этих графиков. Находим граничные точки фигуры, для чего приравниваем функции: (x-4)³ = 2x-8, (x-4)³ - 2(x-4) = 0, (х-4)((х-4)²-2) = 0. Произведение равно нулю, когда один или все множители равны нулю. х - 4 = 0. Получаем первую точку х = 4. ((х-4)²-2) = 0, х²-8х+16-2 = 0, х²-8х+14 = 0. Решаем уравнение x²-8x+14=0: Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант: D=(-8)^2-4*1*14=64-4*14=64-56=8;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: x₂=(√8-(-8))/(2*1)=(√8+8)/2=√8/2+8/2= 4 +√2 ≈ 5,4142136;x₃=(-√8-(-8))/(2*1)=(-√8+8)/2=-√8/2+8/2= 4 -√2 ≈ 2,5857864.
Находим граничные точки фигуры, для чего приравниваем функции:
(x-4)³ = 2x-8,
(x-4)³ - 2(x-4) = 0,
(х-4)((х-4)²-2) = 0.
Произведение равно нулю, когда один или все множители равны нулю.
х - 4 = 0.
Получаем первую точку х = 4.
((х-4)²-2) = 0,
х²-8х+16-2 = 0,
х²-8х+14 = 0.
Решаем уравнение x²-8x+14=0:
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-8)^2-4*1*14=64-4*14=64-56=8;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₂=(√8-(-8))/(2*1)=(√8+8)/2=√8/2+8/2= 4 +√2 ≈ 5,4142136;x₃=(-√8-(-8))/(2*1)=(-√8+8)/2=-√8/2+8/2= 4 -√2 ≈ 2,5857864.
Заданную площадь находим суммой двух интегралов:
Решение этих интегралов даёт ответ: S = 2.