Для решения данного уравнения, воспользуемся заменой переменной. Пусть u=log(3x), тогда уравнение принимает вид:
3log(2)(u-1)-3u+4=0.
Далее, заметим, что 3log(2)(u-1) эквивалентно log(2)(u-1) в качестве основы степени так как коэффициент 3 можно внести внутрь логарифма:
log(2)(u-1)^3-3u+4=0.
Теперь воспользуемся свойством логарифма и избавимся от логарифма в уравнении. Основание логарифма 2 в 1 степени, которое находится внутри логарифма 2, эквивалентно просто числу 2:
(u-1)^3=2^3.
Выполним возведение в степень:
(u-1)^3=8.
Теперь найдем корни этого кубического уравнения. Заметим, что одним из корней будет u=2, так как (2-1)^3=8. Для нахождения остальных корней, воспользуемся факторизацией 8:
(u-1)(u^2+u+1)=8.
Сначала рассмотрим уравнение u-1=8, получаем u=9.
Далее, рассмотрим уравнение u^2+u+1=8. Перенесем все слагаемые в одну сторону и решим квадратное уравнение:
u^2+u+1-8=0,
u^2+u-7=0.
Решим данное квадратное уравнение, используя дискриминант:
D = 1^2-4*1*(-7) = 29.
Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два корня:
u = (-1+sqrt(29))/2 и u = (-1-sqrt(29))/2.
Таким образом, у нас получается три корня нашего исходного уравнения: u=2, u=9, u = (-1+sqrt(29))/2 и u = (-1-sqrt(29))/2.
Осталось подставить найденные значения u обратно в исходное выражение и решить его относительно x.
Для случая u=2:
log(3x)=2,
3x=2^3 = 8,
x=8/3.
Для случая u=9:
log(3x)=9,
3x=3^9 = 19683,
x=19683/3.
Для случаев u = (-1+sqrt(29))/2 и u = (-1-sqrt(29))/2:
Подставляем значения u в выражение log(3x) и решаем его относительно x.
Таким образом, решение уравнения 3log(2)3x−13log(3x)+4=0 состоит из 4 чисел: x=8/3, x=19683/3, x=(1+sqrt(29))/2 и x=(1-sqrt(29))/2.
3log(2)(u-1)-3u+4=0.
Далее, заметим, что 3log(2)(u-1) эквивалентно log(2)(u-1) в качестве основы степени так как коэффициент 3 можно внести внутрь логарифма:
log(2)(u-1)^3-3u+4=0.
Теперь воспользуемся свойством логарифма и избавимся от логарифма в уравнении. Основание логарифма 2 в 1 степени, которое находится внутри логарифма 2, эквивалентно просто числу 2:
(u-1)^3=2^3.
Выполним возведение в степень:
(u-1)^3=8.
Теперь найдем корни этого кубического уравнения. Заметим, что одним из корней будет u=2, так как (2-1)^3=8. Для нахождения остальных корней, воспользуемся факторизацией 8:
(u-1)(u^2+u+1)=8.
Сначала рассмотрим уравнение u-1=8, получаем u=9.
Далее, рассмотрим уравнение u^2+u+1=8. Перенесем все слагаемые в одну сторону и решим квадратное уравнение:
u^2+u+1-8=0,
u^2+u-7=0.
Решим данное квадратное уравнение, используя дискриминант:
D = 1^2-4*1*(-7) = 29.
Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два корня:
u = (-1+sqrt(29))/2 и u = (-1-sqrt(29))/2.
Таким образом, у нас получается три корня нашего исходного уравнения: u=2, u=9, u = (-1+sqrt(29))/2 и u = (-1-sqrt(29))/2.
Осталось подставить найденные значения u обратно в исходное выражение и решить его относительно x.
Для случая u=2:
log(3x)=2,
3x=2^3 = 8,
x=8/3.
Для случая u=9:
log(3x)=9,
3x=3^9 = 19683,
x=19683/3.
Для случаев u = (-1+sqrt(29))/2 и u = (-1-sqrt(29))/2:
Подставляем значения u в выражение log(3x) и решаем его относительно x.
Таким образом, решение уравнения 3log(2)3x−13log(3x)+4=0 состоит из 4 чисел: x=8/3, x=19683/3, x=(1+sqrt(29))/2 и x=(1-sqrt(29))/2.