Question

решить а) Решить дифференциальное уравнение второго порядка;
б) Найти частное решение дифференциальное уравнение второго порядка

Answer 1

$a)y = {e}^{kx} \\ {e}^{kx} ( {k}^{2} - 4k + 5) = 0 \\ d = 16 - 20 = - 4 \\ k1 = \frac{4 + \sqrt{ - 4} }{2} = \frac{4 + 2i}{2} = 2 + i \\ k2 = 2 - i \\ y = {e}^{2x} (C1 \sin(x) + C2 \cos(x) )$

$b)y = {e}^{kx} \\ {e}^{kx} ( {k}^{2} - 10k + 25) = 0 \\ {(k - 5)}^{2} = 0 \\ k1 = k2 = 5 \\ y = C1 {e}^{5x} + C2 {e}^{5x} x$

- общее решение.

Теперь частное:

$y(0) = 2, \: y'(0) = 8 \\ y' = 5C1 {e}^{5x} + 5C2 {e}^{5x} x + C2 {e}^{5x}$

Подставляем в систему:

$2 = C1 + 0 \\ 8 = 5C1 + C2$

$C1 = 2 \\ C2 = 8 - 5C1 = 8 - 10 = - 2$

$y = 2 {e}^{5x} - 2 {e}^{5x} x$

- ЧР.