Question

Решить площадь любой закрашеной фигуры. есть ли какой-нибудь метод, чтобы точно знать что из чего вычитать или вообще ничего не вычитать?

Answer 1

Пошаговое объяснение: 1. Суммируем интегралы на 2 отрезках. При чем первый со знаком "-", т.к. площадь под осью ОХ

S=-∫₀¹(-x³+4x²-3x)dx+∫₁²(-x³+4x²-3x)dx

2. Тут сначала надо найти точки пересечения с ОХ, чтобы иметь пределы интегрирования. Интеграл опять с минусом.

S=-∫ₓ₁ˣ²(x²-4)dx , или можно S=-2∫ₓ₁⁰(x²-4)dx

3-5. Аналогично. Функция одна и та же участвует в интеграле. Делим на интервалы, меняем пределы. Не забываем минус, когда площадь под ОХ.

6,7. Тут под интегралом разность. Первая функция та, что "сверху". Интервалы не делим, если площадь цельная.

Пишем так: (для 6 номера) на участке интегрирования {-1;2} x+2≥x²,

поэтому ∫₋₁²(x+2-x²)dx.

(Для 7 номера): ∫₋₂¹(-x-(x²-2))dx

8. Сначала находим точки пересечения графика с графиком y=1:

3-x²=1, x=±√2  Далее все так же

∫ₓ₁ˣ²(3-x²-1)dx

На первых 5 примерах мы вносили в интеграл только одну функцию, потому что вторая линия была  y=0. Оттого и минус появляется, когда y=0 находится сверху. Например в 1 номере:

∫₀¹(0-(-x³+4x²-3x))dx  и на следующем интервале:

∫₁²(-x³+4x²-3x-0)dx

Вывод: отнимать надо всегда. (Мы просто не пишем ноли, когда имеем дело с y=0). От функции , кот "сверху" отнимаем функцию, кот "снизу". Если участвуют три функции, тогда дробим интервалы интегрирования так, чтобы фигура ограничивалась 2мя! функциями.

Успеха)