становление императорской власти привело к прекращению гражданских войн, восстановлению мира, быстрому подъёму хозяйственной жизни. Римская империя в I-II вв. н. э. переживала расцвет. Это было одно из самых крупных и могущественных государств того времени.
На завоёванных землях происходила романизация местного населения: официальный статут получил латинский язык, в основу судопроизводства легли римские законы, местные органы управления заменялись римскими государственными институтами, воспитание детей зачастую осуществлялось по римским традициям. Для поддержания власти в провинциях нередко размещались римские легионы.
Замена
y`=p
xp`+p=–x
p`+(1/x)p=–1 – линейной уравнение первого порядка.
Будем искать решение в виде
p(x)=u(x)·v(x)
p`=u`·v+u·v`
u`·v+u·v`+(1/х)·uv= – 1
u`·v+u(v`+(1/х)·v)= – 1
Поскольку u и v – произвольные, полагаем, что выражение в скобках ( выделено жирным шрифтом) равно 0
Получаем два уравнения с разделяющимися переменными
1) v`+(1/x)·v=0 ⇒ dv/v= –dx/x
Интегрируем
ln|v|=–ln|x| ⇒ v=1/x
2) u`·v+u·0= – 1
v=1/x найдено в п.1)
u`·(1/x)= – 1
u`= –xdx
u= (–x2/2) +C1
p=((–x2/2) + C1)(1/x)
y`=(–x2/2) +C1/x
Интегрируем
y=(–x3/6)+C1ln|x| + C2 – о т в е т.