Если не учитывать сопротивление воздуха, то высота h (в м), на которой брошенное вертикально вверх тело окажется через t секунд, может быть найдена по формуле h=V0t−(gt²/2), где V0 — начальная скорость (в м/c), g — ускорение свободного падения, иногда значение принимают округлённо 10 м/с², иногда более точно 9,81 м/с².
Подставив значения h = 50 м, g = 9,81 v/c² и V0 = 40 м/с в формулу и приведя к общему знаменателю, получим квадратное уравнение: 9,81t² - 80t + 100 = 0.
Ищем дискриминант:
D=(-80)^2-4*9.81*100=6400-4*9.81*100=6400-39.24*100=6400-3924=2476;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
t_1=(√2476-(-80))/(2*9.81)=(√2476+80)/(2*9.81)=(√2476+80)/19.62=√2476/19.62+80/19.62=√2476/19.62+(4000/981)~~6.613630;
t_2=(-√2476-(-80))/(2*9.81)=(-√2476+80)/(2*9.81)=(-√2476+80)/19.62=-√2476/19.62+80/19.62=-2root2476/19.62+(4000/981)~~1.541314.
Если принять g = 10 м/с², то результат будет такой:
D=(-8)^2-4*1*10=64-4*10=64-40=24;
t_1=(√24-(-8))/(2*1)=(√24+8)/2=√24/2+8/2=√24/2+4~~6.44949;
t_2=(-√24-(-8))/(2*1)=(-√24+8)/2=-√24/2+8/2=-√24/2+4~~1.55051.
Первый проехал x + 0.2k.
x - некоторое вещественное число в диапазоне [0;0.2) км - это часть круга, начиная с отправной точки и заканчивая текущим положением велосипедиста.
k - некоторое целое неотрицательное число - это количество полных кругов, которое успел проехать первый велосипедист
Второй проехал x + 0.2m, m∈Z
Третий проехал x + 0.2n, n∈Z
Пусть все затратили в это время t часов. Тогда первый проехал 20t км, второй 25t км, третий проехал 30t км. Получим систему уравнений:
x+0.2k=20t,
x+0.2m=25t,
x+0.2n=30t.
5x+k=100t,
5x+m=125t,
5x+n=150t.
Из первого уравнения выразим t:
t=(5x+k)/100
Подставим это во второе уравнение:
5x+m=125*(5x+k)/100
4*(5x+m)=5*(5x+k)
20x+4m=25x+5k
5x=4m-5k
Так как m и k целые, то выражение 4m-5k тоже целое. Следовательно, и левая часть тоже целая. Если x∈[0;0.2), то 5x∈[0;1). Единственное целое значение здесь это 5x=0. Отсюда x=0. Тогда 4m-5k=0, 4m=5k
Подставим t=(5x+k)/100 в третье уравнение:
5x+n=150*(5x+k)/100
n=150k/100
2n=3k.
Получим систему для m, n, k:
4m=5k,
2n=3k.
Поскольку m и k взаимно простые, то m должно делиться на 5, а k на 4. Тогда пусть m=5a, где a - некоторое целое неотрицательное число. Тогда k=4*5a/5=4a.
Во втором уравнении этой системы:
2n=3*4a
n=6a.
В итоге имеем:
k=4a,
m=5a,
n=6a.
При a=0 получим начальное положение велосипедистов, когда они только начали свой заезд. Это нам не подходит. При a=1 велосипедисты впервые встретятся одновременно.
k=4,
m=5,
n=6.
Найдем время их заезда. t=(5x+k)/100=(5*0+4)/100 часов = 1/25 часа = 60/25 минут = 2.4 минут.
Самый быстрый за это время проедет 30 км/ч * 1/25 ч = 30/25 км = 1.2 км.
ответ: 2.4 минут, 1.2 км.