Для отношения R={(x,y) | x,y∈ М, x и y имеют один и тот же остаток от деления на 3}, М={1,2,3,4,5,6,7,8}: а) докажите, что R является отношением эквивалентности на М; б) разбейте множество М на классы эквивалентности по отношению R.
a) Чтобы доказать, что R является отношением эквивалентности на М, мы должны проверить, что оно удовлетворяет трем основным свойствам отношения эквивалентности: рефлексивности, симметричности и транзитивности.
1. Рефлексивность: Для любого элемента x ∈ М, он имеет тот же остаток от деления на 3, что и сам, то есть (x, x) ∈ R. Например, для элемента 1, остаток от деления на 3 равен 1, и поэтому (1, 1) ∈ R. Это верно для всех элементов М.
2. Симметричность: Если у двух элементов x и y из М есть одинаковый остаток от деления на 3, то есть (x, y) ∈ R, то также должно выполняться и обратное утверждение (y, x) ∈ R. Допустим, у элементов 2 и 5 остаток от деления на 3 равен 2. Тогда (2, 5) ∈ R и (5, 2) ∈ R. Это верно для всех пар элементов М с одинаковыми остатками от деления на 3.
3. Транзитивность: Если у элементов x, y и z есть одинаковый остаток от деления на 3 и выполняются утверждения (x, y) ∈ R и (y, z) ∈ R, то также должно выполняться утверждение (x, z) ∈ R. Например, если у элементов 2, 5 и 8 остаток от деления на 3 равен 2, и (2, 5) ∈ R и (5, 8) ∈ R, то также (2, 8) ∈ R. Это верно для всех троек элементов М с одинаковыми остатками от деления на 3.
Таким образом, отношение R является отношением эквивалентности на М.
b) Чтобы разбить множество М на классы эквивалентности по отношению R, мы должны сгруппировать элементы, которые имеют одинаковый остаток от деления на 3. В данном случае, так как остаток может быть только 0, 1 или 2, мы получим три класса эквивалентности.
Класс эквивалентности для остатка 0: {3, 6}
В данном классе содержатся элементы, которые при делении на 3 дают остаток 0. Это элементы 3 и 6.
Класс эквивалентности для остатка 1: {1, 4, 7}
В данном классе содержатся элементы, которые при делении на 3 дают остаток 1. Это элементы 1, 4 и 7.
Класс эквивалентности для остатка 2: {2, 5, 8}
В данном классе содержатся элементы, которые при делении на 3 дают остаток 2. Это элементы 2, 5 и 8.
Таким образом, множество М разбивается на три класса эквивалентности по отношению R.
1. Рефлексивность: Для любого элемента x ∈ М, он имеет тот же остаток от деления на 3, что и сам, то есть (x, x) ∈ R. Например, для элемента 1, остаток от деления на 3 равен 1, и поэтому (1, 1) ∈ R. Это верно для всех элементов М.
2. Симметричность: Если у двух элементов x и y из М есть одинаковый остаток от деления на 3, то есть (x, y) ∈ R, то также должно выполняться и обратное утверждение (y, x) ∈ R. Допустим, у элементов 2 и 5 остаток от деления на 3 равен 2. Тогда (2, 5) ∈ R и (5, 2) ∈ R. Это верно для всех пар элементов М с одинаковыми остатками от деления на 3.
3. Транзитивность: Если у элементов x, y и z есть одинаковый остаток от деления на 3 и выполняются утверждения (x, y) ∈ R и (y, z) ∈ R, то также должно выполняться утверждение (x, z) ∈ R. Например, если у элементов 2, 5 и 8 остаток от деления на 3 равен 2, и (2, 5) ∈ R и (5, 8) ∈ R, то также (2, 8) ∈ R. Это верно для всех троек элементов М с одинаковыми остатками от деления на 3.
Таким образом, отношение R является отношением эквивалентности на М.
b) Чтобы разбить множество М на классы эквивалентности по отношению R, мы должны сгруппировать элементы, которые имеют одинаковый остаток от деления на 3. В данном случае, так как остаток может быть только 0, 1 или 2, мы получим три класса эквивалентности.
Класс эквивалентности для остатка 0: {3, 6}
В данном классе содержатся элементы, которые при делении на 3 дают остаток 0. Это элементы 3 и 6.
Класс эквивалентности для остатка 1: {1, 4, 7}
В данном классе содержатся элементы, которые при делении на 3 дают остаток 1. Это элементы 1, 4 и 7.
Класс эквивалентности для остатка 2: {2, 5, 8}
В данном классе содержатся элементы, которые при делении на 3 дают остаток 2. Это элементы 2, 5 и 8.
Таким образом, множество М разбивается на три класса эквивалентности по отношению R.