Написать каноническое уравнение гиперболы, зная что: 1)расстояние между фокусами 2c=10, а между вершинами 2a=8; 2) вещественная полуось a = 2 корень 5 , а эксцентриситет e = корень 1,2 .
Добрый день! Рад стать для вас школьным учителем и помочь разобраться с вашим вопросом.
Чтобы написать каноническое уравнение гиперболы, нам понадобится информация о фокусах, вершинах, вещественной полуоси и эксцентриситете.
1) Первое условие говорит нам о том, что расстояние между фокусами 2c равно 10. Здесь важно отметить, что у гиперболы расстояние между фокусами равно 2ae, где a - вещественная полуось, а e - эксцентриситет.
Из этого можно составить уравнение: 2ae = 10, где 2a = 8 (по условию). Заменим 2a в уравнении и решим его:
8e = 10,
e = 10/8 = 1.25.
2) Второе условие гласит, что между вершинами 2a равно 8. Зная, что a = 2√5, мы можем найти значение a и получить уравнение:
2a = 8,
2 * 2√5 = 8,
4√5 = 8.
Итак, у нас есть следующая информация:
a = 2√5,
e = 1.25.
Теперь мы можем перейти к составлению канонического уравнения гиперболы. В общем виде каноническое уравнение гиперболы имеет следующий вид:
(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1,
где (h,k) - координаты центра гиперболы, a и b - длины полуосей.
Наша задача - найти значения h, k, a и b, чтобы получилось каноническое уравнение гиперболы.
1) Для начала найдем координаты центра (h,k). Вершины гиперболы находятся на главных осях (т.е. прямой, проходящей через центр). Поэтому, центр гиперболы будет находиться посередине между фокусами. Т.к. расстояние между фокусами равно 2c, то центр гиперболы будет находиться в точке (c,0). Зная, что 2c = 10, мы можем найти значение c:
2c = 10,
c = 10/2 = 5.
Таким образом, координаты центра (h,k) равны (5,0).
2) Теперь найдем значения a и b. Мы знаем, что a = 2√5. По умолчанию, гипербола расположена вдоль оси x, поэтому a - это вещественная полуось, указывающая на ось х. Зная, что a - это расстояние от центра до вершины гиперболы, мы можем найти a.
Значение b, полуоси, перпендикулярной к оси х, находится в связи с a и e. Формула связи выглядит так: b^2 = a^2*(e^2-1).
Итак, значения a и b равны 2√5 и √11.25 соответственно.
Теперь мы знаем все необходимые параметры для составления канонического уравнения гиперболы, а именно:
центр (h,k) = (5,0),
длина полуоси a = 2√5,
длина полуоси b = √11.25.
Теперь подставим все значения в каноническое уравнение гиперболы:
(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1.
Получим:
(x-5)² / (2√5)² - (y-0)² / (√11.25)² = 1.
После упрощения:
(x-5)² / 20 - y² / 11.25 = 1.
Итак, каноническое уравнение гиперболы, при данных условиях, будет иметь вид:
(x-5)² / 20 - y² / 11.25 = 1.
Надеюсь, что я дал достаточно подробный ответ и объяснил каждый шаг разумным образом. Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь.
Чтобы написать каноническое уравнение гиперболы, нам понадобится информация о фокусах, вершинах, вещественной полуоси и эксцентриситете.
1) Первое условие говорит нам о том, что расстояние между фокусами 2c равно 10. Здесь важно отметить, что у гиперболы расстояние между фокусами равно 2ae, где a - вещественная полуось, а e - эксцентриситет.
Из этого можно составить уравнение: 2ae = 10, где 2a = 8 (по условию). Заменим 2a в уравнении и решим его:
8e = 10,
e = 10/8 = 1.25.
2) Второе условие гласит, что между вершинами 2a равно 8. Зная, что a = 2√5, мы можем найти значение a и получить уравнение:
2a = 8,
2 * 2√5 = 8,
4√5 = 8.
Итак, у нас есть следующая информация:
a = 2√5,
e = 1.25.
Теперь мы можем перейти к составлению канонического уравнения гиперболы. В общем виде каноническое уравнение гиперболы имеет следующий вид:
(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1,
где (h,k) - координаты центра гиперболы, a и b - длины полуосей.
Наша задача - найти значения h, k, a и b, чтобы получилось каноническое уравнение гиперболы.
1) Для начала найдем координаты центра (h,k). Вершины гиперболы находятся на главных осях (т.е. прямой, проходящей через центр). Поэтому, центр гиперболы будет находиться посередине между фокусами. Т.к. расстояние между фокусами равно 2c, то центр гиперболы будет находиться в точке (c,0). Зная, что 2c = 10, мы можем найти значение c:
2c = 10,
c = 10/2 = 5.
Таким образом, координаты центра (h,k) равны (5,0).
2) Теперь найдем значения a и b. Мы знаем, что a = 2√5. По умолчанию, гипербола расположена вдоль оси x, поэтому a - это вещественная полуось, указывающая на ось х. Зная, что a - это расстояние от центра до вершины гиперболы, мы можем найти a.
Значение b, полуоси, перпендикулярной к оси х, находится в связи с a и e. Формула связи выглядит так: b^2 = a^2*(e^2-1).
a = 2√5,
e = 1.25.
Вычислим b:
b^2 = (2√5)^2 * (1.25^2 - 1),
b^2 = 20 * (1.5625 - 1),
b^2 = 20 * 0.5625,
b^2 = 11.25.
Итак, значения a и b равны 2√5 и √11.25 соответственно.
Теперь мы знаем все необходимые параметры для составления канонического уравнения гиперболы, а именно:
центр (h,k) = (5,0),
длина полуоси a = 2√5,
длина полуоси b = √11.25.
Теперь подставим все значения в каноническое уравнение гиперболы:
(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1.
Получим:
(x-5)² / (2√5)² - (y-0)² / (√11.25)² = 1.
После упрощения:
(x-5)² / 20 - y² / 11.25 = 1.
Итак, каноническое уравнение гиперболы, при данных условиях, будет иметь вид:
(x-5)² / 20 - y² / 11.25 = 1.
Надеюсь, что я дал достаточно подробный ответ и объяснил каждый шаг разумным образом. Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь.