Число обязательно имеет в разложении на простые множители 2, 3 и 5. Т.к. нужно найти наименьшее натуральное число, других множителей в разложении нет. Если пятая часть числа - пятая степень, то 2 и 3 входят в разложение в степени, кратной 5, а 5 входит в степени, дающей при делении на 5 остаток 1. Если третья часть - куб, то 2 и 5 входят в разложение в степени, кратной 3, а 3 входит в степени, дающей при делении на 3 остаток 1. Если половина - квадрат, то 3 и 5 входят в разложение в четной степени, а 2 - в нечетной. Итак, 2 входит в степени, кратной 3, 5 и притом в нечетной. Т.к. нужно найти наименьшее число, то 2 входит в 15 степени. Аналогично, 3 входит в степени, кратной 2 и 5, притом дает в остатке при делении на 3 остаток 1. Наименьший показатель степени, подходящий под эти условия, это 10. Показатель у 5 отвечает требованиям: делится на 2 и 3, дает при делении на 5 остаток 1. Подходит 6.
Пусть было а- команд Тогда каждый сыграл (а-1) игру Тогда всего игр было сыграно : а(а-1)/2 деление на два тут нужно, чтобы учесть, что если команда 1 сыграла с командой 2, то это то же самое, что и команда 2 сыграла с командой 1 (если этого не учесть, получим что две команды играли друг с другом 2 раза, что противоречит условию) Не зависимо от результата игры, в каждой игре разыгрывается (либо 2 - 0, либо 1-1, либо 0-2) Таким образом за всю игр было разыграно: a(a-1)/2*2=a(a-1) Это кол-во равно сумме всех игроков. 3 команд мы знаем точно: 7, 5, 3 остальных команд мы не знает, поэтому обозначим сумму оставшихся команд через "z" Тогда: 7+5+3+z = a(a-1)=a^2-a Не трудно догадаться, что оставшихся команд с неизвестными было : (a-3) команды (т.к. у 3 команд известны) При этом известно, что каждая из этих команд набрала меньше значит суммарно они набрали меньше 3(a-3) тогда: z < 3(a-3) выразим z из верхнего уравнения: z=a^2-a-15 и z < 3(a-3) Тогда: a^2-a-15<3a-9 a^2-4a -6<0 a^2-4a+4-10<0 (a-2)^2-10<0 (a-2-sqrt(10))(a-2+sqrt(10))<0 2-sqrt(10)<a<2+sqrt(10) 3=<a<=5 a=3, отсюда получаем, что всего в игре было разыграно а из условия было разыграно более 15 a=4, отсюда получаем, что было разыграно 12, а их было из условия более 15 a=5, отсюда получаем, что было разыграно из которых получили 1+2+3 места, следовательно две оставшиеся команды получили: 20-15 = отсюда следует, что одна из этих 2 команд получила не менее что противоречит условию ответ: нет не могли
Если пятая часть числа - пятая степень, то 2 и 3 входят в разложение в степени, кратной 5, а 5 входит в степени, дающей при делении на 5 остаток 1.
Если третья часть - куб, то 2 и 5 входят в разложение в степени, кратной 3, а 3 входит в степени, дающей при делении на 3 остаток 1.
Если половина - квадрат, то 3 и 5 входят в разложение в четной степени, а 2 - в нечетной.
Итак, 2 входит в степени, кратной 3, 5 и притом в нечетной. Т.к. нужно найти наименьшее число, то 2 входит в 15 степени.
Аналогично, 3 входит в степени, кратной 2 и 5, притом дает в остатке при делении на 3 остаток 1. Наименьший показатель степени, подходящий под эти условия, это 10.
Показатель у 5 отвечает требованиям: делится на 2 и 3, дает при делении на 5 остаток 1. Подходит 6.
Искомое число равно