1. Выберите верное утверждение. а) Произведение двух отрицательных чисел
Число положительное,
б) при делении на ноль любого числа получается ноль;
в) любое рациональное число является целым;
г) произведение ab равно нулю, если а и bравны нулю одновременно;
д) частное двух отрицательных чисел - число отрицательное.
Вообще говоря, эту задачу можно решать с метода множителей Лагранжа, но я постараюсь обойтись без них. Задача максимизировать произведение abc трех положительных чисел при условии постоянства суммы a²+b²+c² их квадратов. Понятно. что вместо произведения чисел можно рассмотреть произведение их квадратов, а обозначив их буквами x, y, z соответственно, получаем более симпатичную формулировку: максимизировать произведение xyz положительных чисел при условии x+y+z=K (K - некоторое положительное число).
Как всегда в таких задачах, ищем точки, в которых обе частные производные равны нулю (иными словами, точки, в которых первый дифференциал
равен нулю):
Видим, что угловой минор первого порядка -2K/3<0; угловой минор второго порядка K²/3>0. Значит, второй дифференциал отрицательно определен, а это в условиях равенства нулю дифференциала первого порядка означает наличие точки максимума.
Итак, доказано, что наибольший объем среди параллелепипедов с фиксированной диагональю имеет куб.