Question

Применение определенных интегралов для вычисления найти объем тел вращения. xy=6 x+y-7=0
Внизу пример

Answer 1

Пошаговое объяснение:

я так понимаю, что вращаем вокруг оси ОХ

запишем уравнения в виде

у₁ = 7- х;  у₂= 6/х

находим точки пересечения: 7-х = 6/х ⇒  х₁ = 1; х₂ = 6

рисуем графики

в таких случаях требуемый объем ищут как разность объемов

$V = V_1 - V_2$

$V_1 = \pi \int\limits^6_1 {(7-x)^2} \, dx$

сначала посчитаем интеграл

сделаем замену u = (7-x), du = (-dx), и пересчитаем пределы интегрирования верхний предел u=7-6=1, нижний предел u=7-1=6

$= -\int\limits^1_6 {u^2} \, du =$  

умножим на -1, чтобы привести пределы в правильную последовательность

$= \int\limits^6_1 {u^2} \, du = \frac{u^3}{3} I_1^6 = \frac{215}{3} =71\frac{2}{3}$

теперь $V_1 = \pi *71\frac{2}{3}$

$V_ 2 = \pi \int\limits^6_1 {(6/x)^2} \, dx = \pi *(-36\frac{1}{x} ) I_1^6 = 30\pi$

и вот

$V = 71\frac{2}{3} -30= 41\frac{2}{3}$