Поскольку , то треугольники MAN и BAC подобны. Значит MN параллелен BC ⇔ BMNC - трапеция. При этом BN и MC - диагонали. В трапеции отрезок, соединяющий середины оснований, продолжения боковых сторон и точка пересечения диагоналей лежат на одной прямой. Следовательно, AT - медиана треугольника ABC. Заметим, что отношение "расстояний" пройденных точками A и O равно искомому отношению диаметров окружностей, что равно отношению радиусов. Точка T зафиксирована. Спроецируем путь пройденный точкой O на вертикальную ось. Получим длину диаметра окружности. Данный диаметр пропорционален длине отрезка OT. Точка A пройдет весь путь окружности, проекция этого пути равна диаметру описанной окружности. Так как точка O лежит на отрезке AT, то пройденный путь пропорционален диаметру описанной окружности с тем же коэффициентом пропорциональности, что и отношение отрезка OT к соответствующему пути. Получили, что искомое отношение радиусов равно отношению . Пусть MB = x, AM = 3x; AN = 3y; NC = y; TC = BT; По теореме Менелая: , Значит ; ответ: 7:1
Вот моя деревня; Вот мой дом родной; Вот качусь я в санках По горе крутой;Вот свернулись санки, И я на бок - хлоп! Кубарем качуся Под гору, в сугроб.И друзья-мальчишки, Стоя надо мной, Весело хохочут Над моей бедой.Всё лицо и руки Залепил мне снег... Мне в сугробе горе, А ребятам смех!Но меж тем уж село Солнышко давно; Поднялася вьюга, На небе темно.Весь ты перезябнешь, Руки не согнёшь И домой тихонько, Нехотя бредёшь.Ветхую шубёнку Скинешь с плеч долой; Заберёшься на печь К бабушке седой.И сидишь, ни слова... Тихо всё кругом; Только слышишь - воет Вьюга за окном.В уголке, согнувшись, Лапти дед плетёт; Матушка за прялкой Молча лён прядёт.Избу освещает Огонёк светца; Зимний вечер длится, Длится без конца...И начну у бабки Сказки я просить; И начнёт мне бабка Сказки говорить:Как Иван-царевич Птицу-жар поймал; Как ему невесту Серый волк достал.Слушаю я сказку,— Сердце так и мрёт; А в трубе сердито Ветер злой поёт.Я прижмусь к старушке. Тихо речь журчит, И глаза мне крепко Сладкий сон смежит.А во сне мне снятся Чудные края. И Иван-царевич — Это будто я.Вот передо мною Чудный сад цветёт; В том саду большое Дерево растёт.Золотая клетка На суке висит; В этой клетке птица Точно жар горит.Прыгает в той клетке, Весело поёт; Ярким, чудным светом Сад весь обдаёт.Вот я к ней подкрался И за клетку — хвать! И хотел из сада С птицею бежать.Но не тут-то было! Поднялся шум, звон; Набежала стража В сад со всех сторон.Руки мне скрутили И ведут меня... И, дрожа от страха, Просыпаюсь я.Уж в избу, в окошко, Солнышко глядит; Пред иконой бабка Молится, стоит.Весело текли вы, Детские года! Вас не омрачали Горе и беда.
Поскольку
, то треугольники MAN и BAC подобны. Значит MN параллелен BC ⇔ BMNC - трапеция. При этом BN и MC - диагонали. В трапеции отрезок, соединяющий середины оснований, продолжения боковых сторон и точка пересечения диагоналей лежат на одной прямой. Следовательно, AT - медиана треугольника ABC. Заметим, что отношение "расстояний" пройденных точками A и O равно искомому отношению диаметров окружностей, что равно отношению радиусов. Точка T зафиксирована. Спроецируем путь пройденный точкой O на вертикальную ось. Получим длину диаметра окружности. Данный диаметр пропорционален длине отрезка OT. Точка A пройдет весь путь окружности, проекция этого пути равна диаметру описанной окружности. Так как точка O лежит на отрезке AT, то пройденный путь пропорционален диаметру описанной окружности с тем же коэффициентом пропорциональности, что и отношение отрезка OT к соответствующему пути. Получили, что искомое отношение радиусов равно отношению 
. Пусть MB = x, AM = 3x; AN = 3y; NC = y; TC = BT; По теореме Менелая: 
, Значит 
; ответ: 7:1