Question

4. На шахматной доске 21 х 21 расставлена 21 шашка так, что при отражении любой шашки относительно любой главной диагонали она попадет на занятое
шашкой место (возможно, ей же самой). Докажите, что в таком случае одна из
шашек стоит в центре Доски.​

Answer 1

Для решения данной задачи мы будем использовать метод от противного.

Предположим, что ни одна из шашек не стоит в центре доски. Тогда для каждой шашки найдется другая шашка, находящаяся в том же столбце или в той же строке, но не в центральном квадрате. Обозначим эти шашки парой координат (i, j), где i - номер строки, j - номер столбца. Таким образом, у нас будет 21 пара координат.

При отражении любой шашки относительно любой главной диагонали она попадает на занятое место, поэтому в каждой паре координат (i, j) должна быть другая пара координат (k, l), такая что:
- Шашка с координатами (i, j) при отражении относительно главной диагонали попадает на занятое место, которое может быть парой координат (k, l).
- Шашка с координатами (k, l) при отражении относительно главной диагонали попадает на занятое место, которое может быть парой координат (i, j).

Данное условие выполняется для каждой пары координат (i, j) и (k, l).

Посмотрим на координаты первой шашки (i1, j1). По условию, она должна попасть на занятое место при отражении относительно главной диагонали, это место может быть обозначено как (k1, l1). При отражении шашки с координатами (k1, l1) относительно главной диагонали, она должна попасть на занятое место, которое может быть парой координат (i1, j1).

Таким образом, имеем систему уравнений:
1) i1 при отражении относительно главной диагонали равно k1.
2) j1 при отражении относительно главной диагонали равно l1.
3) k1 при отражении относительно главной диагонали равно i1.
4) l1 при отражении относительно главной диагонали равно j1.

Решим систему уравнений для пары (i1, j1):
1) i1 = k1
2) j1 = l1
3) k1 = i1
4) l1 = j1

Получаем, что i1 = k1, j1 = l1. То есть координаты первой шашки (i1, j1) равны координатам занятого места (k1, l1), которое является парой таких же координат.

Аналогично мы можем рассмотреть каждую пару координат и получить, что i = k, j = l для каждой пары. То есть в каждой паре координат (i, j) занятое место имеет те же координаты (i, j).

Вытекает, что все 21 шашка занимает место с собственными координатами на доске. Однако, такого быть не может, так как доска имеет размеры 21х21 и не может предложить 21 уникальное место для каждой шашки.

Таким образом, наше предположение о том, что ни одна из шашек не стоит в центре доски, было неверным. Значит, хотя бы одна шашка должна стоять в центре доски.

Окончательный вывод:
В данном случае, хотя бы одна шашка должна стоять в центре доски.