Question

один маленький пример прикреплен

Answer 1

сделаем замену:

$\sqrt{x} = t \\ \frac{1}{2 \sqrt{x} } dx = dt \\ dx = 2 \sqrt{x} dt \\ dx = 2tdt$

получаем:

$\int\limits \frac{2tdt}{1 + t} = 2\int\limits \frac{tdt}{t + 1} = \\ = 2\int\limits \frac{t + 1 - 1}{t + 1} dt = 2(\int\limits \frac{t + 1}{t + 1} dt - \int\limits \frac{1}{1 + t} dt) = \\ = 2\int\limits \: dt - 2\int\limits \frac{d(t + 1)}{t + 1} = 2t - 2 ln(t + 1) + c = \\ = 2 \sqrt{x} - 2 ln( \sqrt{x} + 1 ) + c$