Вероятность того, что лампа останется исправной равна 0,7. В коридоре поставили 3 новых лампы. Построить ряд распределения, функцию распределения и её график. Найти математическое ожидание и дисперсию.
Хорошо, давайте посмотрим на каждый шаг по порядку.
1. Построение ряда распределения:
Для построения ряда распределения, нужно определить все возможные значения случайной величины и их вероятности.
В данном случае, случайная величина - это количество исправных ламп из 3-х новых ламп, которые поставлены в коридоре. Возможные значения этой случайной величины - 0, 1, 2, 3.
Теперь определим вероятности для каждого значения:
- Вероятность того, что все 3 лампы останутся исправными, равна произведению вероятностей каждой из них: P(3) = 0,7 * 0,7 * 0,7 = 0,343.
- Вероятность того, что 2 из 3 ламп останутся исправными, будет равна: P(2) = 0,7 * 0,7 * (1-0,7) * 3 = 0,441.
- Вероятность того, что только 1 лампа останется исправной: P(1) = 0,7 * (1-0,7) * (1-0,7) * 3 = 0,189.
- Вероятность того, что все 3 лампы перегорят: P(0) = (1-0,7) * (1-0,7) * (1-0,7) = 0,027.
Таким образом, ряд распределения будет выглядеть следующим образом:
X | 0 | 1 | 2 | 3
P(X) | 0,027 | 0,189 | 0,441 | 0,343
2. Построение функции распределения (CDF):
Функция распределения показывает вероятность того, что случайная величина X не превышает определенное значение x.
В нашем случае, функция распределения будет выглядеть следующим образом:
x | 0 | 1 | 2 | 3
Ф(x) | 0,027 | 0,216 | 0,657 | 1
3. График функции распределения:
Теперь мы можем построить график функции распределения, чтобы визуально представить вероятность каждого значения случайной величины.
На горизонтальной оси отметим значения случайной величины X, а на вертикальной оси - вероятности из функции распределения (CDF).
Учитывая значения из таблицы функции распределения, получим следующий график:
4. Нахождение математического ожидания:
Математическое ожидание (M) случайной величины X - это среднее значение, которое мы ожидаем получить при многократном повторении эксперимента.
Для нахождения математического ожидания, умножим каждое значение случайной величины на его вероятность, и найдем их сумму:
M = 0*0,027 + 1*0,189 + 2*0,441 + 3*0,343
M = 0 + 0,189 + 0,882 + 1,029
M = 2,1
Таким образом, математическое ожидание равно 2,1.
5. Нахождение дисперсии:
Дисперсия (D) случайной величины X показывает, насколько отдельные значения случайной величины отклоняются от ее математического ожидания.
Для нахождения дисперсии, нужно вычислить сумму квадратов разностей между каждым значением случайной величины и его математическим ожиданием, умноженных на соответствующие вероятности, и найти их сумму:
D = (0-2,1)^2 * 0,027 + (1-2,1)^2 * 0,189 + (2-2,1)^2 * 0,441 + (3-2,1)^2 * 0,343
D = 0,1071 + 0,3942 + 0,0009 + 0,2834
D = 0,7856
Таким образом, дисперсия равна 0,7856.
Это подробное решение поможет студенту понять, как построить ряд распределения, функцию распределения и найти математическое ожидание и дисперсию в данной задаче.
1. Построение ряда распределения:
Для построения ряда распределения, нужно определить все возможные значения случайной величины и их вероятности.
В данном случае, случайная величина - это количество исправных ламп из 3-х новых ламп, которые поставлены в коридоре. Возможные значения этой случайной величины - 0, 1, 2, 3.
Теперь определим вероятности для каждого значения:
- Вероятность того, что все 3 лампы останутся исправными, равна произведению вероятностей каждой из них: P(3) = 0,7 * 0,7 * 0,7 = 0,343.
- Вероятность того, что 2 из 3 ламп останутся исправными, будет равна: P(2) = 0,7 * 0,7 * (1-0,7) * 3 = 0,441.
- Вероятность того, что только 1 лампа останется исправной: P(1) = 0,7 * (1-0,7) * (1-0,7) * 3 = 0,189.
- Вероятность того, что все 3 лампы перегорят: P(0) = (1-0,7) * (1-0,7) * (1-0,7) = 0,027.
Таким образом, ряд распределения будет выглядеть следующим образом:
X | 0 | 1 | 2 | 3
P(X) | 0,027 | 0,189 | 0,441 | 0,343
2. Построение функции распределения (CDF):
Функция распределения показывает вероятность того, что случайная величина X не превышает определенное значение x.
В нашем случае, функция распределения будет выглядеть следующим образом:
x | 0 | 1 | 2 | 3
Ф(x) | 0,027 | 0,216 | 0,657 | 1
3. График функции распределения:
Теперь мы можем построить график функции распределения, чтобы визуально представить вероятность каждого значения случайной величины.
На горизонтальной оси отметим значения случайной величины X, а на вертикальной оси - вероятности из функции распределения (CDF).
Учитывая значения из таблицы функции распределения, получим следующий график:
1.2 -
| .
| .
0.9 | .
| .
| .
0.6 | .
| .
| .
0.3 | .
| .
| .
0.0 - - - - - - - - - - - - - - - - -
0 | 1 | 2 | 3
4. Нахождение математического ожидания:
Математическое ожидание (M) случайной величины X - это среднее значение, которое мы ожидаем получить при многократном повторении эксперимента.
Для нахождения математического ожидания, умножим каждое значение случайной величины на его вероятность, и найдем их сумму:
M = 0*0,027 + 1*0,189 + 2*0,441 + 3*0,343
M = 0 + 0,189 + 0,882 + 1,029
M = 2,1
Таким образом, математическое ожидание равно 2,1.
5. Нахождение дисперсии:
Дисперсия (D) случайной величины X показывает, насколько отдельные значения случайной величины отклоняются от ее математического ожидания.
Для нахождения дисперсии, нужно вычислить сумму квадратов разностей между каждым значением случайной величины и его математическим ожиданием, умноженных на соответствующие вероятности, и найти их сумму:
D = (0-2,1)^2 * 0,027 + (1-2,1)^2 * 0,189 + (2-2,1)^2 * 0,441 + (3-2,1)^2 * 0,343
D = 0,1071 + 0,3942 + 0,0009 + 0,2834
D = 0,7856
Таким образом, дисперсия равна 0,7856.
Это подробное решение поможет студенту понять, как построить ряд распределения, функцию распределения и найти математическое ожидание и дисперсию в данной задаче.