А) Задание по представленному чертежу:
На чертеже изображена фигура, состоящая из двух полукругов и прямоугольника. Ваше задание состоит в нахождении площади этой фигуры.
Б) Объяснение нахождения пределов интегрирования:
Для нахождения площади фигуры, мы будем использовать метод интегрирования. Чтобы интегрировать, необходимо знать функцию, описывающую границы фигуры.
На чертеже видно, что верхняя граница фигуры - это дуга полукруга с радиусом 4, которая описывается функцией y = 4 - sqrt(16 - x^2). Нижняя граница фигуры - это функция y = 0, так как фигура находится на оси x.
Левая граница фигуры - это точка x = -4, а правая граница - это точка x = 4.
Таким образом, пределы интегрирования для нахождения площади фигуры составляют x от -4 до 4.
В) Нахождение площади заданной фигуры:
Для нахождения площади, используем формулу интеграла:
S = ∫(a, b) f(x) dx
По нашим пределам интегрирования (от -4 до 4) и границам фигуры (y = 0 и y = 4 - sqrt(16 - x^2)), площадь фигуры можно найти следующим образом:
S = ∫(-4, 4) (4 - sqrt(16 - x^2)) dx
Для удобства решения данного интеграла, сначала проведем замену переменной. Пусть u = 16 - x^2, тогда du = -2xdx и dx = -du/(2x).
S = ∫(-4, 4) (4 - sqrt(u)) (-du/(2x))
= -1/2 ∫(-4, 4) (4 - sqrt(u))/x du
Далее, поскольку у нас остались x в знаменателе, проведем очередную замену переменной. Пусть v = 4 - sqrt(u), тогда dv = -du/(2sqrt(u)) и du = -2sqrt(u)dv.
S = -1/2 ∫(-4, 4) (4 - sqrt(u))/x du
= -1/2 ∫(-4, 4) (v/x) (-2sqrt(u)) dv
= ∫(-4, 4) (v/sqrt(u)) dv
Чтобы привести наш интеграл к окончательному виду, можно заметить, что x^2 = 16 - u и (4 - sqrt(u))^2 = x^2. Используя это, можно выразить x в терминах u, и получить итоговый интеграл.
S = ∫(-4, 4) (v/sqrt(u)) dv
= ∫(-4, 4) ((4 - sqrt(u))/(sqrt(16 - u))) dv
Далее, можно проинтегрировать это выражение, используя методичный подход к интегрированию. Итоговый ответ будет зависеть от того, какая функция задает выражение (4 - sqrt(u))/(sqrt(16 - u)).
Таким образом, для нахождения площади заданной фигуры, необходимо проинтегрировать выражение ((4 - sqrt(u))/(sqrt(16 - u))) по пределам интегрирования от -4 до 4. Получившийся результат будет являться площадью этой фигуры.
На чертеже изображена фигура, состоящая из двух полукругов и прямоугольника. Ваше задание состоит в нахождении площади этой фигуры.
Б) Объяснение нахождения пределов интегрирования:
Для нахождения площади фигуры, мы будем использовать метод интегрирования. Чтобы интегрировать, необходимо знать функцию, описывающую границы фигуры.
На чертеже видно, что верхняя граница фигуры - это дуга полукруга с радиусом 4, которая описывается функцией y = 4 - sqrt(16 - x^2). Нижняя граница фигуры - это функция y = 0, так как фигура находится на оси x.
Левая граница фигуры - это точка x = -4, а правая граница - это точка x = 4.
Таким образом, пределы интегрирования для нахождения площади фигуры составляют x от -4 до 4.
В) Нахождение площади заданной фигуры:
Для нахождения площади, используем формулу интеграла:
S = ∫(a, b) f(x) dx
По нашим пределам интегрирования (от -4 до 4) и границам фигуры (y = 0 и y = 4 - sqrt(16 - x^2)), площадь фигуры можно найти следующим образом:
S = ∫(-4, 4) (4 - sqrt(16 - x^2)) dx
Для удобства решения данного интеграла, сначала проведем замену переменной. Пусть u = 16 - x^2, тогда du = -2xdx и dx = -du/(2x).
S = ∫(-4, 4) (4 - sqrt(u)) (-du/(2x))
= -1/2 ∫(-4, 4) (4 - sqrt(u))/x du
Далее, поскольку у нас остались x в знаменателе, проведем очередную замену переменной. Пусть v = 4 - sqrt(u), тогда dv = -du/(2sqrt(u)) и du = -2sqrt(u)dv.
S = -1/2 ∫(-4, 4) (4 - sqrt(u))/x du
= -1/2 ∫(-4, 4) (v/x) (-2sqrt(u)) dv
= ∫(-4, 4) (v/sqrt(u)) dv
Чтобы привести наш интеграл к окончательному виду, можно заметить, что x^2 = 16 - u и (4 - sqrt(u))^2 = x^2. Используя это, можно выразить x в терминах u, и получить итоговый интеграл.
S = ∫(-4, 4) (v/sqrt(u)) dv
= ∫(-4, 4) ((4 - sqrt(u))/(sqrt(16 - u))) dv
Далее, можно проинтегрировать это выражение, используя методичный подход к интегрированию. Итоговый ответ будет зависеть от того, какая функция задает выражение (4 - sqrt(u))/(sqrt(16 - u)).
Таким образом, для нахождения площади заданной фигуры, необходимо проинтегрировать выражение ((4 - sqrt(u))/(sqrt(16 - u))) по пределам интегрирования от -4 до 4. Получившийся результат будет являться площадью этой фигуры.