Question

Доказать, что 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + + 1/(2 в n-ой) < 1. объясните, , подробно (8 класс).

Answer 1

Это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. У нее есть формула для вычисления.

$S=\frac{b_1}{1-q}\quad(1)$

Здесь $b_1$ - первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии. В данном случае он равен 0,5.

q - знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии. В данном случае он равен отношению каждого последующего члена прогрессии к предыдущему члену.

$q=\frac{b_2}{b_1}$

$q=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}$

$q=\frac{1}{4}*2$

$q=\frac{1}{2}$

Подставим в формулу (1) все значения.

$S=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}$

$S=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$

S=1.

В данном случае n - какое-то конечное число, а сумма взята в случае $n \to \infty$.

То есть при любом конечном n, данная сумма всегда будет меньше 1.