Question

Тригонометрический пример.. бьюсь над ним уже 3 часа ! cos2x - √3 sin2x = √3 (вычислить x) (пс: вроде надо решать по 8 группе. выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента! ) потом обозначать tg 2x/2 = y (но это может быть не правильно) !

Answer 1

Можно и без тангенса.

Разделим обе части на 2:

$\frac12\cos2x - \frac{\sqrt3}2\sin2x =\frac{\sqrt3}2\\ \sin\frac\pi6\cos2x-\cos\frac\pi6\sin2x=\frac{\sqrt{3}}2\\ \sin(\frac\pi6-2x)=\frac{\sqrt3}2\\ \sin(2x-\frac\pi6)=-\frac{\sqrt3}2\\ 2x-\frac\pi6=(-1)^{k+1}\frac\pi3+\pi k,k\in\mathbb Z\\ x=\frac\pi{12}+(-1)^{k+1}\frac\pi6+\frac\pi2 k$

Тоже самое через тангенс tgx=t

$\frac{1-t^2}{1+t^2}-\sqrt3\frac{2t}{1+t^2}=\sqrt3\\ (\sqrt3+1)t^2+2\sqrt3t+(\sqrt3-1)=0$

Один корень угадывается просто (t1=-1), второй находится по теореме Виета

$t_2=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}=\frac12(3+1-2\sqrt3)=2-\sqrt3$

Откуда

$x=-\frac\pi4+\pi k, k\in \mathbb Z\qquad\text{or}\qquad x=\arctan(2-\sqrt3)+\pi m, m\in \mathbb Z$

Можно показать, что arctg(2-sqrt3)=pi/12, но это неинтересно.