Задача 1 По четырем заданным точкам построить пирамиду и средствами векторной
алгебры найти: объем пирамиды Α 1Α 2 Α 3 Α 4
; длину ребра ; площадь
грани ; угол между ребрами
Α 2 Α 3
Α1Α 2Α 3 Α1Α 2 и Α1Α 4
.
Координаты вершин пирамиды даны в таблице 1.(координаты в самом низу)
Задача 2
Средствами аналитической геометрии:
1) записать уравнение прямой, проходящей через точку параллельно
прямой
Α1
Α 2 Α 3
;
2) записать уравнение плоскости, проходящей:
а) через прямую Α 2 Α 3 и точку Α1
;
б) через точку Α1 перпендикулярно прямой Α 2 Α 3
;
в) через три точки , , ; Α1
Α 2 Α3
3) найти угол между прямыми 1 2
Α Α и ; Α 3 Α 4
4) найти угол между плоскостями 1 2 3
Α Α Α и 2 3 4
Α Α Α ;
5) определить расстояние от точки Α 1
:
а) до плоскости ;
2 3 4
Α Α Α
б) до прямой . 2 3
Α Α
6
Координаты точек даны в таблице 1.
Координаты точек А1(2,-5,3) А2(3,2,-5) А3(5,-3,-2) А4(-5,3,2)
1. Построение пирамиды:
Для построения пирамиды, соединим вершину А1 с каждой из вершин А2, А3 и А4.
Формируем ребра А1А2, А1А3 и А1А4.
Построенная фигура будет представлять собой пирамиду с вершиной А1 и основанием, образованным точками А2, А3 и А4.
2. Нахождение объема пирамиды:
Объем пирамиды может быть найден с использованием формулы:
V = (1/3) * S * h,
где S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.
Для расчета объема необходимо найти площадь основания и высоту.
3. Нахождение длины ребра:
Длина ребра может быть найдена с использованием формулы для расстояния между двумя точками:
d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2),
где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты концов ребра.
4. Нахождение площади грани:
Площадь грани пирамиды может быть найдена с использованием формулы площади треугольника:
S = (1/2) * a * h,
где a - длина ребра, h - высота грани.
5. Нахождение угла между ребрами:
Угол между ребрами может быть найден с использованием формулы скалярного произведения векторов:
cos(θ) = (A · B) / (|A| * |B|),
где A и B - векторы, образованные ребрами.
Теперь приступим к решению конкретных значений для заданных координат:
Даны координаты вершин пирамиды:
А1(2,-5,3) А2(3,2,-5) А3(5,-3,-2) А4(-5,3,2)
1. Построение пирамиды:
Соединим вершину А1 с каждой из вершин А2, А3 и А4.
Построенная пирамида будет иметь следующий вид:
(Вставьте здесь изображение пирамиды с вершиной А1 и основанием, образованным точками А2, А3 и А4)
2. Нахождение объема пирамиды:
Для начала найдем площадь основания основания пирамиды.
Площадь основания можно найти с использованием формулы площади треугольника или, в данном случае, площади четырехугольника А2А3А4А1.
Вычислим площадь с использованием формулы площади Герона:
S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)),
где p - полупериметр основания, a, b, c - длины сторон основания.
a = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2),
где (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) - координаты двух вершин.
Вычислим значения a, b и c и найдем полупериметр p.
Подставим значения в формулу площади Герона для площади основания и найдем результат.
Затем найдем высоту пирамиды h, используя формулу высоты треугольника:
h = √(b^2 - (a/2)^2).
Подставим значения и найдем результат.
И наконец, используя найденные значения S и h, можно найти объем пирамиды V = (1/3) * S * h.
3. Нахождение длины ребра:
Для нахождения длины ребра необходимо вычислить расстояние между вершинами.
Используем формулу для расстояния между двумя точками.
Вычислим длину ребра А1А2, А1А3 и А1А4, используя значения координат.
4. Нахождение площади грани:
Площадь грани пирамиды можно найти, используя формулу площади треугольника.
Вычислим площади граней, образованных ребрами А2А3 и А1А4, и найдем результат.
5. Нахождение угла между ребрами:
Для нахождения угла между ребрами используем формулу скалярного произведения векторов.
Вычислим угол между ребрами А2А3 и А1А2, а также угол между ребрами А2А3 и А1А4.
При решении задачи рекомендуется внимательно выполнять все вычисления и верифицировать результаты с целью повышения точности.