Question

Найти неопределенные интегралы.

Answer 1

в)

по частям:

$U = ln(x) \: \: \: \: \: \: \: \: \: dU = \frac{dx}{x} \\ dV = (3x - 2)dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: V = \int\limits(3x - 2)dx = \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \frac{3 {x}^{2} }{2} - 2x$

$UV - \int\limits \: VdU$

$( \frac{3 {x}^{2} }{2} - 2x) ln(x) - \int\limits \frac{dx}{ x} \times ( \frac{ 3{x}^{2} }{2} - 2x) = \\ = ( \frac{3 {x}^{2} }{2} - 2x) ln(x) - \int\limits( \frac{3}{2} x - 2)dx = \\ = ( \frac{3 {x}^{2} }{2} - 2x) ln(x) - \frac{3 {x}^{2} }{4} + 2x + C$

г)

$\int\limits \frac{dx}{x(1 + 4 {x}^{2} )}$

с неопределенных коэффициентов:

$\frac{1}{x(1 + 4 {x}^{2}) } = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{4 {x}^{2} + 1} \\ 1 = A(4 {x}^{2} + 1) + (Bx + C)x \\ 1 = 4a {x}^{2} + A+ B {x}^{2} + Cx \\$

система:

$0 = 4A + B \\ C= 0 \\ A = 1 \\ \\ B = - 4A= - 4 \\ C= 0 \\ A= 1$

получаем:

$\int\limits \frac{dx}{x} + \int\limits \frac{( - 4x + 0)dx}{4 {x}^{2} + 1} = \\ = ln(x) - \frac{1}{2} \int\limits \frac{8xdx}{4 {x}^{2} + 1} = \\ = ln(x) - \frac{1}{2} \int\limits \frac{d(4 {x}^{2} + 1) }{4 {x}^{2} + 1} = \\ = ln(x) - \frac{1}{2} ln(4 {x}^{2} + 1 ) + C = \\ = ln( \frac{x}{ \sqrt{1 + 4 {x}^{2} } } ) + C$