1)Прямая, параллельная основаниям АD и BC трапеции ABCD, пересекает стороны AB и CD в точках P и N соответственно. Известно, что BC= 5 см,AD=11см, а сумма сторон AB и СD равна 26 см. Найдите отрезок PN, если в каждую из трапеций APND и PBCN можно вписать окружность
1. Прямая, параллельная основаниям трапеции, пересекает стороны трапеции в точках, которые делят их пропорционально.
2. Диагонали трапеции пересекаются в точке, делящей каждую диагональ пропорционально.
Обозначим отрезок PN как x.
Так как отрезок PN является прямой, параллельной основаниям трапеции, то мы можем применить свойство 1. Согласно этому свойству, отношение длин отрезков AP и PB равно отношению длин отрезков DN и NC.
Поэтому, AP/PB = DN/NC.
Аналогичным образом, применим свойство 1 к отрезку DN и NC, и отношение длин отрезков DN и NC будет равно отношению длин отрезков AN и BD:
DN/NC = AN/BD.
Также, согласно свойству 2, отношение длин отрезков AN и BD будет равно отношению длин отрезков PN и NC:
AN/BD = PN/NC.
Объединяя все эти равенства, мы получаем следующую цепочку равенств:
AP/PB = DN/NC = AN/BD = PN/NC.
Зная, что BC = 5 см и AD = 11 см, а сумма сторон AB и CD равна 26 см, мы можем записать следующее:
AB + BC + CD = 26.
AB + 5 + CD = 26.
AB + CD = 21.
Из этого уравнения можно заключить, что AB = 21 - CD.
Заметим, что отношение длин отрезков AP и PB равно отношению длин отрезков AB и BD:
AP/PB = AB/BD.
Однако, мы знаем, что AB = 21 - CD. Поэтому, можем переписать это равенство:
AP/PB = (21 - CD)/BD.
Согласно свойству 1 для трапеции, отношение длин отрезков AP и PB равно отношению длин отрезков DN и NC:
AP/PB = DN/NC.
Используя цепочку равенств, запишем это как:
(21 - CD)/BD = DN/NC.
Далее, применим свойство 1 к отрезку DN и NC, и выразим их через отрезки AN и BD:
DN/NC = AN/BD.
Подставим это равенство в предыдущее уравнение:
(21 - CD)/BD = AN/BD.
Теперь, сократим обе части уравнения на BD:
21 - CD = AN.
А также, мы знаем, что отношение длин отрезков AN и BD равно отношению длин отрезков PN и NC:
AN/BD = PN/NC.
Используя данное равенство, мы можем записать:
(21 - CD)/BD = PN/NC.
Далее, можем снова сократить обе части уравнения на BD:
21 - CD = PN.
Таким образом, мы получили значение отрезка PN, которое равно 21 - CD.
Осталось найти значение отрезка CD.
Заметим, что диагональ трапеции ABCD делит ее на два треугольника: ABD и CBD. При этом, сумма длин сторон этих треугольников равна сумме сторон AB и CD, то есть 26 см.
Так как BC = 5 см, а AD = 11 см, то длина стороны BD равна 26 - 5 - 11 = 10 см.
Зная длину стороны BD, мы можем найти отрезок CD, так как отрезок CD равен разности сторон BC и BD:
CD = BC - BD.
CD = 5 - 10 = -5 см.
Однако, отрезки не могут иметь отрицательную длину, поэтому полученное значение CD -5 см является ошибкой.
Допустимой длиной будет значением длины отрезка CD, равным модулю CD:
|CD| = |-5| = 5 см.
Таким образом, отрезок CD равен 5 см.
Найдем значение отрезка PN:
PN = 21 - CD.
PN = 21 - 5.
PN = 16 см.
Итак, полученное значение отрезка PN равно 16 см.