Question

Доведіть тотожність і розв'яжіть рівняння​

Answer 1

4.

$\left(\dfrac{b+1}{b-1} - \dfrac{b-1}{b+1}\right)\cdot \dfrac{b^2-1}{8b} = \dfrac{1}{2}\\\\\\\left(\dfrac{(b+1)^2}{(b-1)(b+1)}-\dfrac{(b-1)^2}{(b-1)(b+1)}\right)\cdot\dfrac{(b-1)(b+1)}{8b} = \dfrac{1}{2}\\\\\\\dfrac{(b+1)^2-(b-1)^2}{(b-1)(b+1)}\cdot \dfrac{(b-1)(b+1)}{8b} = \dfrac{1}{2}\\\\\\\dfrac{b^2 + 2b + 1-(b^2-2b+1)}{(b-1)(b+1)}\cdot \dfrac{(b-1)(b+1)}{8b} = \dfrac{1}{2}\\\\\\\dfrac{b^2 + 2b + 1 - b^2 + 2b - 1}{(b-1)(b+1)}\cdot \dfrac{(b-1)(b+1)}{8b} = \dfrac{1}{2}$

$\dfrac{4b}{(b-1)(b+1)} \cdot \dfrac{(b-1)(b+1)}{8b} = \dfrac{1}{2}\\\\\\\dfrac{4b(b-1)(b+1)}{(b-1)(b+1)8b} = \dfrac{1}{2}$

Сокращаем числитель и знаменатель, получаем:

$\boxed{\bf{\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}}}$  , ч.т.д.

5.

$\dfrac{x-30}{x^2-6x+9}+\dfrac{6}{9-x^2} = \dfrac{1}{x+3}\\\\\\\dfrac{x - 30}{(x-3)^2} + \dfrac{6}{(3-x)(3+x)} - \dfrac{1}{x+3} = 0\\\\\\\dfrac{x-30}{(x-3)^2} - \dfrac{6}{(x-3)(3+x)} - \dfrac{1}{x+3} = 0$

Приводим к одному знаменателю:

$\dfrac{(x-30)(3+x)}{(x-3)^2(3+x)} - \dfrac{6(x-3)}{(x-3)^2(3+x)} - \dfrac{(x-3)^2}{(x-3)^2(3+x)} = 0\\\\\\\dfrac{(x-30)(3+x) - 6(x-3) - (x-3)^2}{(3+x)(x-3)^2} = 0\\\\\\\dfrac{3x+x^2 - 90 - 30x - 6x + 18 - (x^2-6x +9)}{(3+x)(x-3)^2} = 0\\\\\\\dfrac{x^2-33x-72-x^2+6x-9}{(3+x)(x-3)^2} = 0\\\\\\\dfrac{-27x-81}{(3+x)(x-3)^2} = 0\\\\\\\dfrac{-27(x + 3)}{(3+x)(x-3)^2} = 0\\\\\\\dfrac{-27}{(x-3)^2} = 0$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. В числителе находится -27, а знаменатель неравен нулю. Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

ответ: $x\in\varnothing$.