Question

Решение дифференциального уравнения первого порядка методом Бринелля (1+x^2)y-2xy=(1+x^2)^2 y0=5 x0=2

Answer 1

$(1 + {x}^{2} )y - 2xy = {(1 + {x}^{2} )}^{2}$

разделим на (1+х^2)

$y - \frac{2xy}{1 + {x}^{2} } = 1 + {x}^{2}$

это ЛДУ

замена:

$y = UV \\ y = U'V + V'U$

$U'V + V'U - \frac{2xUV}{1 + {x}^{2} } = 1 + {x}^{2} \\ U'V + U(V'- \frac{2xV}{1 + {x}^{2} } ) = 1 + {x}^{2}$

$1)V' - \frac{2xV}{1 + {x}^{2} } = 0 \\ \frac{dV}{dx} = \frac{2xV}{1 + {x}^{2} } \\ \int\limits \frac{dV}{V} = \int\limits \frac{2xdx}{1 + {x}^{2} } \\ ln(V) = \int\limits \frac{d(1 + {x}^{2}) }{1 + {x}^{2} } \\ ln(V) = ln(1 + {x}^{2} ) \\ v = 1 + {x}^{2}$

$U'V = 1 + {x}^{2} \\ \frac{dU}{dx} \times (1 + {x}^{2} ) = 1 + {x}^{2} \\ \int\limits \: dU = \int\limits \: dx \\ U = x + C$

$y = (1 + {x}^{2} )(x + C) = \\ = {x}^{3} + C {x}^{2} + x + C$

общее решение

$y(2) = 5$

$5 = {2}^{3} + C {2}^{2} + 2 + C \\ 4C + C = 5 - 8 - 2 \\ 5C = - 5 \\ C= - 1$

$y = {x}^{3} - {x}^{2} + x - 1$

частное решение