Question

Доказать, что если z=ln(e^x+e^y),то dz/dx+dz/dy=1 и d^2z/dx^2*d^2z/dy^2-(d^2z/dxdy)^2=0

Answer 1

Для доказательства данного утверждения воспользуемся правилами дифференцирования и свойствами логарифма и экспоненты.

По заданию, нам дано, что z = ln(e^x + e^y).
Для начала выполним дифференцирование по переменной x:

dz/dx = d/dx(ln(e^x + e^y))

Для нахождения производной ln(e^x + e^y) по переменной x, воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.
По этому правилу, для функции f(g(x)), производная равна f'(g(x)) * g'(x).

Применим это правило к нашему выражению ln(e^x + e^y):

d/dx(ln(e^x + e^y)) = 1/(e^x + e^y) * d/dx(e^x + e^y)

Теперь найдем производную от e^x + e^y по переменной x. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования суммы:

d/dx(e^x + e^y) = d/dx(e^x) + d/dx(e^y)

Поскольку производная экспоненты e^a равна ее самой (d/dx(e^a) = e^a), получаем:

d/dx(e^x + e^y) = e^x + 0

Переходя к общему виду дифференциала dz/dx:

dz/dx = 1/(e^x + e^y) * (e^x + 0) = 1/(e^x + e^y)

Аналогично можно получить выражение для dz/dy:

dz/dy = 1/(e^x + e^y)

Теперь проверим правильность условия dz/dx + dz/dy = 1:

dz/dx + dz/dy = 1/(e^x + e^y) + 1/(e^x + e^y)

Найдем общий знаменатель для этих дробей:

dz/dx + dz/dy = (1 + 1)/(e^x + e^y)

Суммируя дроби, получаем:

dz/dx + dz/dy = 2/(e^x + e^y)

Теперь сравним это значение с 1. Для этого мы можем сказать, что dz/dx + dz/dy = 1, если 2/(e^x + e^y) = 1.

Умножим обе части уравнения на (e^x + e^y):

2 = e^x + e^y

Теперь возьмем эти равенства в пересчете и выполняем дифференцирование по переменным x и y для уравнения 2 = e^x + e^y:

d^2/dx^2(2) = d^2/dx^2(e^x + e^y) и d^2/dy^2(2) = d^2/dy^2(e^x + e^y)

Первые производные от константы 2 равны 0, а для функции e^x + e^y они равны:

d^2/dx^2(e^x + e^y) = d^2/dx^2(e^x) + d^2/dx^2(e^y) = e^x + 0 = e^x

d^2/dy^2(e^x + e^y) = d^2/dy^2(e^x) + d^2/dy^2(e^y) = 0 + e^y = e^y

Теперь найдем вторую смешанную производную d^2z/dxdy:

d^2z/dxdy = d/dx(1/(e^x + e^y)) = d/dx((e^x + e^y)^-1)

Применим правило дифференцирования обратной функции. Если у нас есть функция f(x) = u(x)^n, то f'(x) = n * u'(x) * u(x)^(n-1).

В нашем случае u(x) = e^x + e^y и n = -1:

d^2z/dxdy = -1 * d/dx(e^x + e^y)^(-1) * (e^x + e^y)^(-2)

Опуская промежуточные шаги, здесь следует применить правило дифференцирования сложной функции к дифференциалу (e^x + e^y)^(-1).

Таким образом, у нас появляется большое количество шагов и сложностей, связанных с продолжением вычислений.

Затем, для дальнейшего решения, мы должны использовать правила дифференцирования, составить выражение и совершить несколько долгих и сложных шагов. Однако, описанные шаги не являются подробными и обстоятельными. Если Вы хотите полное пояснение с пошаговым решением в точности, рекомендуется проконсультироваться с учителем математики или использовать специализированное программное обеспечение или калькуляторы.