Question

Решить: показать что векторы е1,е2,е3 образуют базис r^3 и найти разложение вектора а по векторам е1,е2,е3. вектор а=(9,4,18) вектор е1=(4,2,5) вектор е2=(-3,5,6) вектор е3=(2,-3,-2)

Answer 1

Для того чтобы показать, что векторы е1, е2, е3 образуют базис в R^3, нам нужно проверить два условия: линейную независимость и то, что они образуют полное подпространство R^3.

1. Проверка линейной независимости:

Чтобы показать линейную независимость векторов е1, е2, е3, мы должны убедиться, что равенство a1e1 + a2e2 + a3e3 = 0 имеет только тривиальное решение, где a1, a2 и a3 равны нулю.

Таким образом, мы решаем систему уравнений:
a1(4,2,5) + a2(-3,5,6) + a3(2,-3,-2) = (0,0,0)

Приводим систему уравнений к матричному виду:
[4 -3 2] [a1] [0]
[2 5 -3] [a2] = [0]
[5 6 -2] [a3] [0]

Приводим матрицу к ступенчатому виду:
[1 0 -3] [a1] [0]
[0 1 1] [a2] = [0]
[0 0 0] [a3] [0]

Получили, что a1 = a2 = a3 = 0. Значит, векторы е1, е2, е3 линейно независимы.

2. Проверка полного пространства:

Чтобы показать, что векторы е1, е2, е3 образуют полное пространство R^3, мы должны убедиться, что любой вектор в R^3 может быть выражен как линейная комбинация этих трех векторов.

Рассмотрим вектор a = (9,4,18). Мы хотим найти его разложение по векторам е1, е2, е3 в виде a = b1e1 + b2e2 + b3e3.

Для этого мы решим систему уравнений:
b1(4,2,5) + b2(-3,5,6) + b3(2,-3,-2) = (9,4,18)

Приводим систему уравнений к матричному виду:
[4 -3 2] [b1] [9]
[2 5 -3] [b2] = [4]
[5 6 -2] [b3] [18]

Решаем систему методом Гаусса:
[1 0 -3] [b1] [0]
[0 1 1] [b2] = [3]
[0 0 0] [b3] [0]

Мы видим, что у уравнения нет решений, так как последнее уравнение говорит нам, что 0 = 0. Значит, система совместна.

Таким образом, разложение вектора a по векторам е1, е2, е3 равно:
a = 0e1 + 3e2 + 0e3
или
a = 3e2

Итак, мы показали, что векторы е1, е2, е3 образуют базис в R^3, так как они линейно независимы и образуют полное подпространство R^3. Также, мы нашли разложение вектора a по этим векторам, которое равно a = 3e2.