Question

Найти коэффициент при x^8 в разложении (3x^3-(2/x))^8

Answer 1

Чтобы найти коэффициент при x^8 в разложении выражения (3x^3-(2/x))^8, мы можем воспользоваться формулой бинома Ньютона.

Формула бинома Ньютона гласит:

(x + y)^n = C(n, 0)*x^n*y^0 + C(n, 1)*x^(n-1)*y^1 + C(n, 2)*x^(n-2)*y^2 + ... + C(n, n)*x^0*y^n,

где C(n, k) - это биномиальный коэффициент, равный n!/(k!(n-k)!), где n! - это n-факториал.

Теперь давайте применим эту формулу к нашему случаю:

n = 8
x = 3x^3
y = -(2/x)

Заметим, что y = -(2/x) можно упростить:

y = -(2/x) = -2x^(-1)

Теперь мы можем записать разложение выражения (3x^3-(2/x))^8 с помощью формулы бинома Ньютона:

(3x^3-(2/x))^8 = C(8, 0)*(3x^3)^8*(-2x^(-1))^0 + C(8, 1)*(3x^3)^7*(-2x^(-1))^1 + C(8, 2)*(3x^3)^6*(-2x^(-1))^2 + ... + C(8, 8)*(3x^3)^0*(-2x^(-1))^8

Теперь мы можем вычислить каждый член этого разложения. Давайте начнем с первого члена:

C(8, 0)*(3x^3)^8*(-2x^(-1))^0

Биномиальный коэффициент C(8, 0) равен 1, так как 8!/(0!(8-0)!) = 1.

Теперь давайте упростим оставшуюся часть:

(3x^3)^8*(-2x^(-1))^0 = (3^8*x^(3*8))*(-2^0*x^0) = 3^8*x^24*1 = 3^8*x^24

Теперь перейдем ко второму члену разложения:

C(8, 1)*(3x^3)^7*(-2x^(-1))^1

Биномиальный коэффициент C(8, 1) равен 8, так как 8!/(1!(8-1)!) = 8.

Запишем оставшуюся часть:

(3x^3)^7*(-2x^(-1))^1 = (3^7*x^(3*7))*(-2*x^(-1)) = 3^7*x^21*(-2*x^(-1)) = -3^7*2*x^(21+(-1)) = -2*3^7*x^20

Таким же образом мы можем посчитать и остальные члены разложения.

Итак, коэффициент при x^8 в разложении выражения (3x^3-(2/x))^8 равен сумме коэффициентов при x^8 в каждом члене разложения:

коэффициент при x^8 = 3^8*С(8, 0)*1 - 2*3^7*С(8, 1) + ... + (-2)^8*С(8, 8)*x^0

Все остальные члены разложения (с отличными от x^8 степенями) будут равны 0, так как степень x всегда больше 8 в нашем случае.

Но так как нам нужно найти только коэффициент при x^8, все остальные члены разложения (с отличными от x^8 степенями) не имеют значения для нас.

Что касается коэффициента при x^8, для его вычисления нам понадобятся значения биномиальных коэффициентов С(8, k), где k принимает значения от 0 до 8:

C(8, 0) = 1,
C(8, 1) = 8,
C(8, 2) = 28,
C(8, 3) = 56,
C(8, 4) = 70,
C(8, 5) = 56,
C(8, 6) = 28,
C(8, 7) = 8,
C(8, 8) = 1.

Теперь, подставляя эти значения в формулу для коэффициента при x^8, мы получаем:

коэффициент при x^8 = 3^8*1*1 - 2*3^7*8 + 2^8*1*x^0

коэффициент при x^8 = 3^8 - 2*3^7*8 + 2^8

Вычисляя эту формулу, мы получаем окончательный ответ на вопрос: коэффициент при x^8 в разложении выражения (3x^3-(2/x))^8 равен 2^8 - 2*3^7*8 + 3^8.