Question

Найти значения a и b для многочлена ax^4+bx^3+1 при которых оно делится нацело на (x-1)^2

Answer 1

a= 3

b= -4

Пошаговое объяснение:

Если при некоторых a и b:

F(x)= ax^4+bx^3+1  нацело делится на (x-1)^2, то и делится на x-1.

Откуда по теореме Безу: F(1) = a+b+1 = 0 → b = -(a+1)

Далее может быть решения:

Первый

ax^4+bx^3+1 = ax^4-(a+1) * x^3+1 = ax^4-(a+1) * x^3 +(a+1) - a =

= a(x^4-1) - (a+1)(x^3-1) = a(x-1)(x+1)(x^2+1)-(a+1)(x-1)(1+x+x^2) =

= (x-1)( a(x+1)(x^2+1) - (a+1)(1+x+x^2) )

Поскольку (x-1)( a(x+1)(x^2+1) - (a+1)(1+x+x^2) ) нацело делится на (x-1)^2, то

G(x) = a(x+1)(x^2+1) - (a+1)(1+x+x^2) делится на x-1 ,таким образом, по теореме Безу снова имеем:

G(1) = 4a -3(a+1) = 0 →  a = 3;  b = -(3+1) = - 4

Второй

ax^4+bx^3+1 = ax^4-(a+1) * x^3+1 = (x-1)^2* g(x) , где g(x) - некоторый многочлен.

Продифференцируем обе части равенства:

F'(x) = 4ax^3-3(a+1)x^2 = 2(x-1) * g(x) + (x-1)^2 * g'(x) = (x-1) * r(x), где r(x) - некоторый многочлен.

Но тогда F'(x)  так же делится на (x-1) , то есть по теореме Безу:

F'(1) = 4a-3(a+1) = 0 → a = 3;  b = -(3+1) = - 4

Третий

По обобщенной теореме Виета в данном уравнении:

x1 * x2 * x3  * x4 = 1\a

x1 * x2 * x3 + x1 * x2 * x4  +  x4 * x2 * x3 + x1 * x4 * x3  = 0

x1 * x2 + x1 * x3 + x1 * x4 + x2 * x3 + x2 * x4 + x3 * x4 = 0

Учитывая, что x1 = x2 = 1 имеем:

x3 + x4 +2 * x3 * x4 = 0

1 + 2 * x3 + 2 * x4 + x3 * x4 = 0

Умножаем первое уравнение на 2 и вычитаем из него второе :

3 * x3 * x4 -1 = 0

x3 * x4 = 1/3

x1 * x2 * x3  * x4  =1^2 *  1/3 = 1/3 = 1/a → a = 3; b = -4