Итак, у нас дана геометрическая прогрессия (bn), первый член которой равен b1=5, а знаменатель равен q=2. Также дано, что сумма всех членов прогрессии Sn равна 5115.
Для решения этой задачи мы будем использовать формулу для суммы n членов геометрической прогрессии:
Sn = b1 * (1 - q^n) / (1 - q)
где Sn - сумма n членов прогрессии, b1 - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии, n - число членов прогрессии.
У нас известны Sn=5115, b1=5, q=2, поэтому мы можем подставить эти значения в формулу и найти значение n, то есть число членов прогрессии.
Разделим обе части уравнения на -5:
5115 / -5 = 1 - 2^n
Теперь решим это уравнение относительно 2^n:
-1023 = 1 - 2^n
Перенесем 1 на другую сторону уравнения:
-1024 = -2^n
Сейчас у нас есть уравнение вида -2^n = -1024. Обратите внимание, что нам нужно найти значение n, которое является натуральным числом. Здесь нам поможет заметить, что -2 в степени 10 равно -1024 (то есть 1024 со знаком минус). Таким образом, n=10.
Чтобы удостовериться, что наше решение верно, мы можем подставить найденное значение n=10 обратно в изначальное уравнение и проверить, что получится сумма 5115:
Для решения этой задачи мы будем использовать формулу для суммы n членов геометрической прогрессии:
Sn = b1 * (1 - q^n) / (1 - q)
где Sn - сумма n членов прогрессии, b1 - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии, n - число членов прогрессии.
У нас известны Sn=5115, b1=5, q=2, поэтому мы можем подставить эти значения в формулу и найти значение n, то есть число членов прогрессии.
5115 = 5 * (1 - 2^n) / (1 - 2)
Приведем дробь к общему знаменателю:
5115 = 5 * (1 - 2^n) / -1
Избавимся от знаменателя:
5115 = -5 * (1 - 2^n)
Разделим обе части уравнения на -5:
5115 / -5 = 1 - 2^n
Теперь решим это уравнение относительно 2^n:
-1023 = 1 - 2^n
Перенесем 1 на другую сторону уравнения:
-1024 = -2^n
Сейчас у нас есть уравнение вида -2^n = -1024. Обратите внимание, что нам нужно найти значение n, которое является натуральным числом. Здесь нам поможет заметить, что -2 в степени 10 равно -1024 (то есть 1024 со знаком минус). Таким образом, n=10.
Чтобы удостовериться, что наше решение верно, мы можем подставить найденное значение n=10 обратно в изначальное уравнение и проверить, что получится сумма 5115:
Sn = b1 * (1 - q^n) / (1 - q)
S10 = 5 * (1 - 2^10) / (1 - 2)
Посчитаем значения в скобках:
S10 = 5 * (1 - 1024) / -1
S10 = 5 * (-1023) / -1
S10 = -5115 / -1
S10 = 5115
Как видите, получили сумму, равную 5115, что совпадает с изначальными данными. Значит, наше решение верно.
Таким образом, ответ на задачу равен n=10, то есть число членов прогрессии равно 10.