Для составления уравнения кривой, проходящей через точку M (4;3) и имеющей угловой коэффициент dy/dx=1/2у в любой точке касания, мы можем использовать метод разделения переменных.
Угловой коэффициент dy/dx показывает нам, как изменяется y при изменении x. В данном случае, dy/dx=1/2у означает, что изменение y в единицу изменения x равно половине y.
Давайте начнем.
Пусть у(x) будет нашей неизвестной функцией, представляющей кривую. Тогда мы можем записать уравнение в виде:
dy/dx = 1/2у
Теперь мы можем разделить переменные, переместив y на одну сторону и x на другую сторону:
dy/у = dx/2
Затем мы можем проинтегрировать обе стороны уравнения:
∫ dy/у = ∫ dx/2
Для правой стороны уравнения, интеграл ∫ dx/2 равен (1/2)x + C1, где С1 - произвольная постоянная.
Для левой стороны уравнения, интеграл ∫ dy/у можно проинтегрировать с использованием натурального логарифма (ln):
ln|у| = (1/2)x + C1
Здесь |у| обозначает модуль у, так как интегрирование производится относительно y, который может быть отрицательным или положительным.
Теперь мы применяем экспоненту на обе стороны уравнения, чтобы избавиться от натурального логарифма:
e^(ln|у|) = e^((1/2)x + C1)
Упрощая это, получаем:
|у| = e^((1/2)x + C1)
Сейчас мы можем рассмотреть два случая:
1. Если y > 0, то |у| = у, и уравнение принимает вид:
у = e^((1/2)x + C1)
2. Если y < 0, то |у| = -у, и уравнение принимает вид:
-у = e^((1/2)x + C1)
Теперь мы должны использовать условие, что кривая проходит через точку М (4;3).
Подставляя x=4 и y=3 в уравнение, мы можем найти конкретное значение для постоянной C1.
Давайте рассмотрим первый случай:
у = e^((1/2)x + C1)
3 = e^(2 + C1)
Находим значение C1, возведя обе стороны в экспоненту:
e^(2 + C1) = 3
Теперь мы можем найти значение C1, взяв натуральный логарифм от обеих сторон и решив уравнение:
(2 + C1) = ln(3)
C1 = ln(3) - 2
Таким образом, уравнение для первого случая будет:
у = e^((1/2)x + (ln(3) - 2))
Аналогично, мы можем рассмотреть второй случай:
-у = e^((1/2)x + C1)
-3 = e^(2 + C1)
Упрощая это, мы получаем:
e^(2 + C1) = -3
Однако, правая сторона уравнения дает нам отрицательное число, что противоречит определению экспоненты. Поэтому второй случай не имеет решения.
Итак, окончательное уравнение для кривой, проходящей через точку M (4;3) и имеющей угловой коэффициент dy/dx=1/2у в любой точке касания, будет:
у = e^((1/2)x + (ln(3) - 2))
Это детальное и обстоятельное решение позволяет понять, как было получено уравнение кривой, используя конкретные шаги и различные возможные случаи.
Угловой коэффициент dy/dx показывает нам, как изменяется y при изменении x. В данном случае, dy/dx=1/2у означает, что изменение y в единицу изменения x равно половине y.
Давайте начнем.
Пусть у(x) будет нашей неизвестной функцией, представляющей кривую. Тогда мы можем записать уравнение в виде:
dy/dx = 1/2у
Теперь мы можем разделить переменные, переместив y на одну сторону и x на другую сторону:
dy/у = dx/2
Затем мы можем проинтегрировать обе стороны уравнения:
∫ dy/у = ∫ dx/2
Для правой стороны уравнения, интеграл ∫ dx/2 равен (1/2)x + C1, где С1 - произвольная постоянная.
Для левой стороны уравнения, интеграл ∫ dy/у можно проинтегрировать с использованием натурального логарифма (ln):
ln|у| = (1/2)x + C1
Здесь |у| обозначает модуль у, так как интегрирование производится относительно y, который может быть отрицательным или положительным.
Теперь мы применяем экспоненту на обе стороны уравнения, чтобы избавиться от натурального логарифма:
e^(ln|у|) = e^((1/2)x + C1)
Упрощая это, получаем:
|у| = e^((1/2)x + C1)
Сейчас мы можем рассмотреть два случая:
1. Если y > 0, то |у| = у, и уравнение принимает вид:
у = e^((1/2)x + C1)
2. Если y < 0, то |у| = -у, и уравнение принимает вид:
-у = e^((1/2)x + C1)
Теперь мы должны использовать условие, что кривая проходит через точку М (4;3).
Подставляя x=4 и y=3 в уравнение, мы можем найти конкретное значение для постоянной C1.
Давайте рассмотрим первый случай:
у = e^((1/2)x + C1)
3 = e^(2 + C1)
Находим значение C1, возведя обе стороны в экспоненту:
e^(2 + C1) = 3
Теперь мы можем найти значение C1, взяв натуральный логарифм от обеих сторон и решив уравнение:
(2 + C1) = ln(3)
C1 = ln(3) - 2
Таким образом, уравнение для первого случая будет:
у = e^((1/2)x + (ln(3) - 2))
Аналогично, мы можем рассмотреть второй случай:
-у = e^((1/2)x + C1)
-3 = e^(2 + C1)
Упрощая это, мы получаем:
e^(2 + C1) = -3
Однако, правая сторона уравнения дает нам отрицательное число, что противоречит определению экспоненты. Поэтому второй случай не имеет решения.
Итак, окончательное уравнение для кривой, проходящей через точку M (4;3) и имеющей угловой коэффициент dy/dx=1/2у в любой точке касания, будет:
у = e^((1/2)x + (ln(3) - 2))
Это детальное и обстоятельное решение позволяет понять, как было получено уравнение кривой, используя конкретные шаги и различные возможные случаи.