1. Нахождение длин ребер и координат векторов x y z Квадрат Длина ребра
Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA} -4 -7 -1 66 8,124038405
Вектор BC={xC-xB, yC-yB, zC-zB} 1 2 -4 21 4,582575695
Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA} -3 -5 -5 59 7,681145748
Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA} -6 -3 -2 49 7
Вектор BD={xD-xB, yD-yB, zD-zB} -2 4 -1 21 4,582575695
Вектор CD={xD-xC, yD-yC, zD-zC} -3 2 3 22 4,69041576
Косинус угла АВС равен:
cos(ABC) = (4*1+7*2+1*(-4))/(√66*√21) = 14/(3√154) ≈ 0,376051.
Этому косинусу соответствует угол 1,185266 радиан или 67,910731°.
2) Площадь грани ВСD.
Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:
Векторное произведение:
i j k
1 2 -4
-2 4 -1
= i(2(-1)-4(-4)) - j(1(-1)-(-2)*(-4)) + k(1*4-(-2)*2) = 14i + 9j + 8k
S(BCD) = (1/2)*√(14² + 9² + 8²) = (1/2*√341 ≈ 9,2331 кв.ед.
3) Объем пирамиды ABCD.
Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:
X1 Y1 Z1
X2 Y2 Z2
X3 Y3 Z3
-4 -7 -1
-3 -5 -5
-6 -3 -2
где определитель матрицы равен:
∆ = (-4)*((-5)*(-2)-(-3)*(-5))-(-3)*((-7)*(-2)-(-3)*(-1))+(-6)*((-7)*(-5)-(-5)*(-1)) = -127.
V = (1/6)*127 = 127/6 ≈ 21,1667 куб.ед.
