. Вывести уравнение кривой, если абсолютная величина разности расстояний от каждой ее точки до точек F1(–7;0) и F2(13;0) есть величина постоянная и равна p=16.
Для решения данной задачи нам понадобится использовать свойство эллипса. Эллипс - это геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от каждой точки до двух заданных точек, называемых фокусами, постоянна.
Дано, что абсолютная величина разности расстояний от каждой точки этой кривой до точек F1(-7;0) и F2(13;0) равна 16 (p=16).
Пусть P(x, y) - это произвольная точка нашей кривой. Также пусть d1 и d2 - это расстояния от точки P до точек F1 и F2 соответственно.
Согласно свойству эллипса, мы можем записать следующее уравнение:
|d1 - d2| = p
Где d1 и d2 можно выразить, как расстояния между точками P и F1, P и F2:
Мы использовали свойство эллипса и конкретное значение постоянной p=16 для получения уравнения кривой. В процессе мы применили несколько алгебраических преобразований, чтобы упростить уравнение и выразить его в наиболее понятной форме. Окончательное уравнение подходит для описания и изучения данной кривой.
Дано, что абсолютная величина разности расстояний от каждой точки этой кривой до точек F1(-7;0) и F2(13;0) равна 16 (p=16).
Пусть P(x, y) - это произвольная точка нашей кривой. Также пусть d1 и d2 - это расстояния от точки P до точек F1 и F2 соответственно.
Согласно свойству эллипса, мы можем записать следующее уравнение:
|d1 - d2| = p
Где d1 и d2 можно выразить, как расстояния между точками P и F1, P и F2:
d1 = √((x - (-7))^2 + (y - 0)^2) = √((x + 7)^2 + y^2)
d2 = √((x - 13)^2 + (y - 0)^2) = √((x - 13)^2 + y^2)
Подставим d1 и d2 в уравнение эллипса:
|√((x + 7)^2 + y^2) - √((x - 13)^2 + y^2)| = 16
Так как разность модулей равна константе, то можно убирать модули:
√((x + 7)^2 + y^2) - √((x - 13)^2 + y^2) = 16 (1)
или
√((x + 7)^2 + y^2) + √((x - 13)^2 + y^2) = 16 (2)
Теперь рассмотрим случай (1):
√((x + 7)^2 + y^2) - √((x - 13)^2 + y^2) = 16
Возведем оба выражения в квадрат:
((x + 7)^2 + y^2) - 2√((x + 7)^2 + y^2)√((x - 13)^2 + y^2) + ((x - 13)^2 + y^2) = 256
Раскроем скобки, упростим и выведем все члены влево:
x^2 + 14x + 49 + y^2 - 2√((x + 7)^2 + y^2)√((x - 13)^2 + y^2) + x^2 - 26x + 169 + y^2 = 256
2x^2 - 12x + 2y^2 - 2√((x + 7)^2 + y^2)√((x - 13)^2 + y^2) + 218 = 256
2x^2 - 12x + 2y^2 - 2√((x + 7)^2 + y^2)√((x - 13)^2 + y^2) = 38 (3)
Теперь рассмотрим случай (2):
√((x + 7)^2 + y^2) + √((x - 13)^2 + y^2) = 16
Аналогично возведем оба выражения в квадрат, раскроем скобки и выведем все члены влево:
2x^2 - 12x + 2y^2 + 2√((x + 7)^2 + y^2)√((x - 13)^2 + y^2) = 0 (4)
Таким образом, мы получили систему уравнений (3) и (4), которая полностью описывает нашу кривую.
Однако, чтобы привести уравнение кривой к более простому виду, мы можем избавиться от последнего слагаемого в уравнении (3) путем деления на 2:
x^2 - 6x + y^2 - √((x + 7)^2 + y^2)√((x - 13)^2 + y^2) = 19
Таким образом, окончательное уравнение кривой будет иметь вид:
x^2 - 6x + y^2 - √((x + 7)^2 + y^2)√((x - 13)^2 + y^2) = 19
Пояснение:
Мы использовали свойство эллипса и конкретное значение постоянной p=16 для получения уравнения кривой. В процессе мы применили несколько алгебраических преобразований, чтобы упростить уравнение и выразить его в наиболее понятной форме. Окончательное уравнение подходит для описания и изучения данной кривой.