Сторона основания правильной треугольной пирамиды SKLM равна 12 см, апофема равна 8 см. Найдите: а) площадь боковой поверхности пирамиды; б) площадь полной поверхности
а) Для нахождения площади боковой поверхности пирамиды нам понадобится знать длину бокового ребра. Чтобы ее найти, воспользуемся теоремой Пифагора.
В прямоугольном треугольнике SKN с гипотенузой апофемы (8 см) и одним катетом в половину длины основания (12/2 = 6 см), найдем второй катет:
b^2 = c^2 - a^2,
где b - искомый катет, с - гипотенуза (апофема), a - известный катет.
Подставляем значения:
b^2 = 8^2 - 6^2,
b^2 = 64 - 36,
b^2 = 28,
b = √28,
b ≈ 5,3 см.
Теперь, когда мы знаем длину бокового ребра (5,3 см), можем найти площадь боковой поверхности пирамиды.
Площадь боковой поверхности пирамиды вычисляется по формуле:
Sб = П * l * R,
где П - периметр основания, l - длина бокового ребра, R - радиус вписанной окружности основания.
Периметр основания треугольной пирамиды можно найти как сумму длин всех трех сторон основания:
П = SK + KL + LM.
Значения сторон основания не были указаны в вопросе, поэтому предположим, что треугольник SKL равносторонний. Тогда все стороны основания будут равны 12 см.
Подставляем значения:
П = SK + KL + LM,
П = 12 + 12 + 12,
П = 36 см.
Радиус вписанной окружности регулярного треугольника можно найти через формулу:
R = a / (2 * √3),
где a - длина стороны треугольника.
Подставляем значения:
R = 12 / (2 * √3),
R = 12 / (2 * 1,73),
R ≈ 3,47 см.
Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности пирамиды:
Sб = П * l * R,
Sб = 36 * 5,3 * 3,47,
Sб ≈ 673,67 см².
Ответ: площадь боковой поверхности пирамиды приближенно равна 673,67 см².
б) Чтобы найти площадь полной поверхности пирамиды, нам также понадобится знать площадь основания пирамиды.
Площадь основания равностороннего треугольника можно найти по формуле:
Sосн = (a^2 * √3) / 4,
где a - длина стороны треугольника.
а) Для нахождения площади боковой поверхности пирамиды нам понадобится знать длину бокового ребра. Чтобы ее найти, воспользуемся теоремой Пифагора.
В прямоугольном треугольнике SKN с гипотенузой апофемы (8 см) и одним катетом в половину длины основания (12/2 = 6 см), найдем второй катет:
b^2 = c^2 - a^2,
где b - искомый катет, с - гипотенуза (апофема), a - известный катет.
Подставляем значения:
b^2 = 8^2 - 6^2,
b^2 = 64 - 36,
b^2 = 28,
b = √28,
b ≈ 5,3 см.
Теперь, когда мы знаем длину бокового ребра (5,3 см), можем найти площадь боковой поверхности пирамиды.
Площадь боковой поверхности пирамиды вычисляется по формуле:
Sб = П * l * R,
где П - периметр основания, l - длина бокового ребра, R - радиус вписанной окружности основания.
Периметр основания треугольной пирамиды можно найти как сумму длин всех трех сторон основания:
П = SK + KL + LM.
Значения сторон основания не были указаны в вопросе, поэтому предположим, что треугольник SKL равносторонний. Тогда все стороны основания будут равны 12 см.
Подставляем значения:
П = SK + KL + LM,
П = 12 + 12 + 12,
П = 36 см.
Радиус вписанной окружности регулярного треугольника можно найти через формулу:
R = a / (2 * √3),
где a - длина стороны треугольника.
Подставляем значения:
R = 12 / (2 * √3),
R = 12 / (2 * 1,73),
R ≈ 3,47 см.
Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности пирамиды:
Sб = П * l * R,
Sб = 36 * 5,3 * 3,47,
Sб ≈ 673,67 см².
Ответ: площадь боковой поверхности пирамиды приближенно равна 673,67 см².
б) Чтобы найти площадь полной поверхности пирамиды, нам также понадобится знать площадь основания пирамиды.
Площадь основания равностороннего треугольника можно найти по формуле:
Sосн = (a^2 * √3) / 4,
где a - длина стороны треугольника.
Подставляем значение:
Sосн = (12^2 * √3) / 4,
Sосн = (144 * 1,73) / 4,
Sосн ≈ 62,35 см².
Вычисляем площадь полной поверхности пирамиды:
Sполн = Sб + 2 * Sосн,
Sполн = 673,67 + 2 * 62,35,
Sполн ≈ 798,37 см².
Ответ: площадь полной поверхности пирамиды приближенно равна 798,37 см².
Пожалуйста, проследите за каждым шагом и уточняйте, если что-то непонятно.