Question

Решите системное уравнение (ответ (1;81); (81;1)​

Answer 1

$\begin{equation*}\begin{cases}\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y} = 4\\\sqrt{x} + \sqrt{y} = 10\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}\sqrt{\sqrt{x}} + \sqrt{\sqrt{y}} = 4\\\sqrt{x} + \sqrt{y} = 10\end{cases}\end{equation*}$

Для удобства введём две замены:  $t = \sqrt{x}\ ,\ t \geq 0$   и   $v = \sqrt{y}\ ,\ v \geq 0$ .

$\begin{equation*}\begin{cases}\sqrt{t} + \sqrt{v} = 4\\t + v = 10\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}\sqrt{t} + \sqrt{v} = 4\\t = 10 - v\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}\sqrt{10-v} + \sqrt{v} = 4\\t = 10 - v\end{cases}\end{equation*}$

Решим верхнее уравнение системы отдельно.

$\sqrt{10-v} + \sqrt{v} = 4$

Подкоренное выражение всегда неотрицательно.

$\begin{equation*}\begin{cases}10 - v \geq 0\\v\geq 0\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}v\leq 10\\v\geq 0\end{cases}\end{equation*}$

Продолжаем решение уравнения.

$\sqrt{10-v} = 4 - \sqrt{v}$

Возведём обе части уравнения в квадрат.

$\left(\sqrt{10-v}\right)^2 = \left(4-\sqrt{v}\right)^2\\\\10 - v = 16 - 8\sqrt{v} + v\\\\10 - v - 16 - v = -8\sqrt{v}\\\\-6-2v = -8\sqrt{v}\\\\-2(3 + v) = -8\sqrt{v}\ \ \ \ \ \Big| :(-2)\\\\3 + v = 4\sqrt{v}$

Снова возведём обе части в квадрат.

$(3+v)^2 = \left(4\sqrt{v}\right)^2\\\\9 + 6v + v^2 = 16v\\\\v^2 + 6v - 16v + 9 = 0\\\\v^2 - 10v + 9 = 0$

По теореме Виета:

$\begin{equation*}\begin{cases}v_{1}v_{2} = 9\\v_{1} + v_{2} = 10\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \ \Big| v = 9; v = 1$

Подставляем каждое значение $v$ и находим $t$:

$\left[\begin{gathered}\begin{equation*}\begin{cases}t = 10 - v\\v = 9\end{equation*}\\\begin{equation*}\begin{cases}t = 10 - v\\v = 1\end{cases}\end{equation*}\end{gathered}\ \ \ \Leftrightarrow\ \left[\begin{gathered}\begin{equation*}\begin{cases}t = 1\\v = 9\end{equation*}\\\begin{equation*}\begin{cases}t = 9\\v = 1\end{cases}\end{equation*}\end{gathered}$

Обратная замена:

$\left[\begin{gathered}\begin{equation*}\begin{cases}\sqrt{x} = 1\\\sqrt{y} = 9\end{equation*}\\\begin{equation*}\begin{cases}\sqrt{x} = 9\\\sqrt{y} = 1\end{cases}\end{equation*}\end{gathered}\ \ \ \Leftrightarrow\ \left[\begin{gathered}\begin{equation*}\begin{cases}x = 1\\y = 81\end{equation*}\\\begin{equation*}\begin{cases}x = 81\\y = 1\end{cases}\end{equation*}\end{gathered}$

Данная система имеет две пары решений.

ответ:  $(1; 81)\ ,\ (81;1)$ .