Question

найти общее решение Дифференциального уравнения

Answer 1

1) Решаем ОЛДУ:

$y'' - 2y' + y = 0$

замена:

$y = {e}^{kx}$

${k}^{2} - 2k + 1 = 0 \\ {(k - 1)}^{2} = 0 \\ k1 = k2 = 1 \\ y = C1 {e}^{x} + C2 {e}^{x} x$

2) Подбираем у с неопределенными коэффициентами:

$y1 = A$

$y2 = B{e}^{x} \times {x}^{2}$

умножаем на х^2, так как в общем решении ОЛДУ два слагаемых с е^х.

$y = A + B{e}^{x} {x}^{2}$

$y = B{e}^{x} {x}^{2} + 2Bx {e}^{x} = \\ = {e}^{x} (B {x}^{2} + 2Bx)$

$y = {e}^{x} (B {x}^{2} + 2Bx) + {e}^{x} (2Bx + 2B) = \\ = {e}^{x} (B{x}^{2} + 4Bx + 2B)$

Подставляем в НЛДУ:

${e}^{x} (B {x}^{2} + 4Bx + 2B) - 2 {e}^{x} (B { x}^{2} + 2Bx) + A + B {e}^{x} {x}^{2} = 1 + {e}^{x} \\ {e}^{x} (B {x}^{2} + 4Bx + 2B - 2B{x}^{2} - 4Bx + b {x}^{2} ) + A = 1 + {e}^{x} \\ 2B {e}^{x} + A = {e}^{x} + 1$

Отсюда:

A = 1

2B = 1 ; B = 1/2

Получаем:

$y = 1 + \frac{ {x}^{2} }{2} {e}^{x} \\$

общее решение:

$y = C1 {e}^{x} + C2 {e}^{x} x + 1 + \frac{ {x}^{2} {e}^{x} }{2} \\$