ответ: x∈(1;2).
Пошаговое объяснение:
Прежде всего заметим, что так как x находится под знаком логарифма, то x>0. Умножим обе части на положительное число x^[log_2(x)] и положим x^[log_2(x)]=t. После этого неравенство примет вид t²+2<3*t, или t²-3*t+2<0. Перепишем его в виде (t-1)*(t-2)<0 и решим методом интервалов. Если t<1, то (t-1)*(t-2)>0; если 1<t<2, то (t-1)*(t-2)<0; если t>2, то (t-1)*(t-2)>0. Отсюда 1<t<2 и мы приходим к системе неравенств:
x^[log_2(x)]>1
x^[log_2(x)]<2
Решим первое неравенство. Для этого возьмём логарифмы по основанию 2 от обеих частей этого неравенства и получим неравенство [log_2(x)]²<log_2(1), или [log_2(x)]²>0. Отсюда log_2(x)>0 и x>1, т.е. при x∈(1;∞). Рассмотрим теперь второе неравенство. Возьмём логарифмы по основанию 2 от обеих частей это неравенства и получим неравенство [log_2(x)]²<log_2(2), или [log_2(x)]²<1. Это неравенство распадается на два таких:
log_2(x)<1
log_2(x)>-1.
Первое имеет решение x<2, т.е. x∈(-∞;2). Второе имеет решение x>1/2, т.е. x∈(1/2;∞). Но так как x>0, то отсюда следует, что x∈(0;2). Поэтому искомое решение таково: x∈(1;2).
x∈(2;7) ∪ (7;9]
целые: 3, 4, 5, 6, 8, 9
Пошаговое объяснение:
1/(x²-11x+28)≤(8x-37)/((x-4)²(x²-9x+14));
раскладываем квадратные трехчлены на множители:
а)x²-11x+28=0; D=121-4*28=9; x₁₂=0,5(11±3); x₁=7; x₂=4;
x²-11x+28=(x-7)(x-4);
b)x²-9x+14=0; D=81-56=25; x₁₂=0,5(9±5); x₁=7; x₂=2;
x²-9x+14=(x-7)(x-2);
записываем заново, ищем общий знаменатель, приводим подобные, переносим все в левую часть:
1/[(x-7)(x-4)]≤(8x-37)/[(x-4)²(x-7)(x-2)];
1/[(x-7)(x-4)]-(8x-37)/[(x-4)²(x-7)(x-2)]≤0;
[(x-4)(x-2)]-(8x-37)]/[(x-4)²(x-7)(x-2)]≤0;
[x²-2x-4x+8-8x+37]/[(x-4)²(x-7)(x-2)]≤0;
[x²-14x+45]/[(x-4)²(x-7)(x-2)]≤0;
опять раскладываем на множители:
x²-14x+45=0; D=14²-4*45=16; x₁₂=0,5(14±4); x₁=9; x₂=5;
x²-14x+45=(x-9)(x-5);
плучаем вот такое неравенство:
(x-9)(x-5)/[(x-4)²(x-7)(x-2)]≤0;
дробь меньше или равна 0 когда числитель и знаменатель имеют разные знаки:
1. числитель больше или равен 0, а знаменатель меньше 0
2. числитель меньше или равен 0, а знаменатель больше 0
1. числитель ≥0
(x-9)(x-5)≥0; x≥9; x≥5; x∈[9;+∞);
x≤9; x≤5; x∈(-∞;5];
x∈(-∞;5]∪[9;+∞);
1. знаменатель <0 (не равен!)
(x-4)²(x-7)(x-2)<0; (x-4)²>0; (x-7)>0; (x-2)<0
x>2; x>7; x<2; x∈∅;
(x-4)²>0; (x-7)<0; (x-2)>0;
x>2; x<7; x>2; x∈(2;7)
x∈(-∞;5]∪[9;+∞)∩(2;7);
x∈(2;7)
2. числитель ≤0
(x-9)(x-5)≤0; x≥9; x≤5; x∈∅;
x≤9; x≥5; x∈[5;9];
x∈[5;9];
2.знаменатель >0
(x-4)²(x-7)(x-2)>0; (x-4)²>0; (x-7)>0; (x-2)>0
x>2; x>7; x>2; x∈[7;+∞);
(x-4)²<0; (x-7)<0; (x-2)<0;
x∈∅; x<7; x<2; x∈∅
x∈[5;9] ∩ [7;+∞)
x∈[7;9]
x∈(2;7) ∪ [7;9]; (число 7 не входит!)
x∈(2;7) ∪ (7;9]
147657 это уже прощеное