Question

Решить неопределенный интеграл

Answer 1

Пошаговое объяснение: =∫ dx/(√x+∛x)·∛x²= ∫ dx/⁶√x⁷(1+1/⁶√x)= |пусть 1+1/⁶√x=t, тогда dt/dx= -1/6 ·⁶√x⁷; dx= -6 ·⁶√x⁷·dt| = -6·∫dt/t= -6·lnt=   -6·ln(1+1/⁶√x)+C

Answer 2

$\int\limits \frac{ \sqrt[3]{x} }{x( \sqrt{x} + \sqrt[3]{x} )} dx = \int\limits \frac{ {x}^{ \frac{1}{3} } }{x( {x}^{ \frac{1}{2} } + {x}^{ \frac{1}{3} } )} dx \\$

у переменных степени 1, 1/2 и 1/3, и их общий знаменатель - 6. Делаем замену:

${x}^{ \frac{1}{6} } = t \\ {x}^{ \frac{1}{2} } = {t}^{3} \\ {x}^{ \frac{1}{3} } = {t}^{2} \\ x = {t}^{6} \\ dx = 6 {t}^{5} dt$

$\int\limits \frac{ {t}^{2} }{ {t}^{6}( {t}^{2} + {t}^{3} ) } \times 6 {t}^{5} dt =6 \int\limits \frac{tdt}{{t}^{2} + {t}^{3} } = \\ = 6\int\limits \frac{tdt}{ {t}^{2} (t + 1)}= 6\int\limits \frac{dt}{ t (t + 1)}$

с неопределенных коэффициентов разделим на простейшие дроби:

$\frac{1}{ t (t + 1)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t + 1} \\ 1 = A(t + 1) +B t\\ 1 = A t + A + Bt \\ \\ 0=A+B \\ 1 = A \\ \\ A=1\\B=-1$

$6(\int\limits \frac{dt}{t} - \int\limits \frac{dt}{t + 1} ) = \\ = 6 ln(t) - 6 ln(t + 1) + C = 6 ln( \frac{t}{t + 1} ) + C= \\ \\ = 6 ln( \frac{ \sqrt[6]{x} }{ \sqrt[6]{x} + 1} ) + C$