Question

Найти неопределённый интеграл. Правильность полученных результатов проверить дифференцированием. ∫(4x²+1)e^(6x) dx

Answer 1

$\int\limits(4 {x}^{2} + 1) {e}^{6x}dx \\$

Решаем по частям:

$U = 4 {x}^{2} + 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: dU= (4 {x}^{2} + 1)dx = 8xdx \\ dV = {e}^{6x} dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: V = \frac{1}{6} \int\limits {e}^{6x} d(6x) = \frac{1}{6} {e}^{6x}$

$\int\limits \: UdV = UV - \int\limits \: VdU= \\ = \frac{4 {x}^{2} + 1 }{6} {e}^{6x} - \frac{8}{6} \int\limits \: x {e}^{6x} dx \\ \\ \int\limits \: x {e}^{6x} dx \\ \\ U= x \: \: \: \: \: \: \: \: \: dU= dx \\ dV= {e}^{6x} dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: V = \frac{1}{6} {e}^{6x} \\ \\ \int\limits \: x {e}^{6x} = \frac{x}{6} {e}^{6x} - \frac{1}{6} \int\limits{e}^{6x} dx = \\ = \frac{x}{6} {e}^{6x} - \frac{ {e}^{6x} }{36} + C$

соединяем:

$\frac{4 {x}^{2} + 1 }{6} {e}^{6x} - \frac{4}{3} ( \frac{x}{6} {e}^{6x} - \frac{ {e}^{6x} }{36} ) + C = \\ = \frac{ {e}^{6x} }{6} (4 {x}^{2} + 1 - \frac{4x}{3} + \frac{2}{9} ) + C = \\ = \frac{ {e}^{6x} }{6} (4 {x}^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{11}{9} ) + C$

Проверка:

$( \frac{ {e}^{6x} }{6} (4 {x}^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{11}{9} ) + C)' = \\ = {e}^{6x} (4 {x}^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{11}{9} ) + \frac{ {e}^{6x} }{6} (8x - \frac{4}{3} ) = \\ = {e}^{6x} (4 {x}^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{ 11 }{9} + \frac{4}{3} x - \frac{2}{11} ) = \\ = {e}^{6x} (4 {x}^{2} + 1)$