Question

Какую тройку (левую или правую) образуют векторы AB , AC и AD ,
если А(1; 1; -1), В(2; 3; 1), С(3; 2; 1) и D(5; 9; 8).

Answer 1

Для определения, какую тройку образуют векторы AB, AC и AD, нам необходимо вычислить векторные произведения между парами векторов и проверить их направление.

Сначала найдем векторы AB, AC и AD. Для этого вычтем координаты начальной точки из координат конечной точки каждого вектора.

1. Вектор AB:
AB = B - A = (2 - 1; 3 - 1; 1 - (-1)) = (1; 2; 2)

2. Вектор AC:
AC = C - A = (3 - 1; 2 - 1; 1 - (-1)) = (2; 1; 2)

3. Вектор AD:
AD = D - A = (5 - 1; 9 - 1; 8 - (-1)) = (4; 8; 9)

Теперь вычислим векторные произведения между парами векторов AB, AC и AD. Для этого воспользуемся правилом вычисления векторного произведения, которое гласит:

V1 × V2 = (V1y * V2z - V1z * V2y; V1z * V2x - V1x * V2z; V1x * V2y - V1y * V2x)

4. Векторное произведение AB × AC:
(AB × AC)x = (2 * 2 - 2 * 1) = 2
(AB × AC)y = (2 * 2 - 1 * 1) = 3
(AB × AC)z = (1 * 1 - 2 * 2) = -3
AB × AC = (2; 3; -3)

5. Векторное произведение AB × AD:
(AB × AD)x = (2 * 8 - 9 * 2) = -10
(AB × AD)y = (9 * 4 - 4 * 8) = -20
(AB × AD)z = (4 * 3 - 2 * 4) = 4
AB × AD = (-10; -20; 4)

6. Векторное произведение AC × AD:
(AC × AD)x = (1 * 9 - 8 * 2) = -7
(AC × AD)y = (8 * 4 - 9 * 3) = -3
(AC × AD)z = (3 * 2 - 1 * 9) = -3
AC × AD = (-7; -3; -3)

Направление векторного произведения можно определить по правилу правой руки. Если базовой ладонью указать на первый вектор из тройки и пальцами руки указывать в сторону второго вектора, то вытянутый большой палец будет указывать направление векторного произведения. Если вытянутый большой палец направлен вперед, то векторное произведение положительно (правая тройка), если назад, то отрицательно (левая тройка).

Теперь применим это правило, используя векторные произведения из пункта 4, 5 и 6.

7. Определение тройки векторов:
Проверим, в каком направлении указывают большие пальцы при применении правила правой руки к векторным произведениям.
- Векторное произведение AB × AC имеет направление (2; 3; -3), то есть большой палец указывает вперед.
- Векторное произведение AB × AD имеет направление (-10; -20; 4), то есть большой палец указывает назад.
- Векторное произведение AC × AD имеет направление (-7; -3; -3), то есть большой палец указывает назад.

Таким образом, векторы AB, AC и AD образуют левую тройку.