Question

Решить дифференциальные уравнения

подробное решение

Answer 1

1.

$y' + \frac{2y}{x} = \frac{2 \sqrt{y} }{ { \cos}^{2}x } \\$

это уравнение Бернулли

Разделим на у в квадрате

$\frac{y'}{ \sqrt{y} } + 2 \frac{ \sqrt{y} }{x} = \frac{2}{ { \cos }^{2} x} \\$

замена:

$\sqrt{y} = z \\ z' = \frac{1}{2 \sqrt{y} } \times y' \\ \frac{y'}{ \sqrt{y} } = 2z'$

$2z' + 2 \frac{z}{x} = \frac{2}{ { \cos }^{2} x} \\ z' + \frac{z}{x} = \frac{1}{ { \cos }^{2}x }$

это ЛДУ

замена:

$z = UV \\ z' = U'V + V'U$

$U'V + V'U + \frac{UV}{x} = \frac{1}{ { \cos}^{2} x} \\ U'V + U(V' + \frac{V}{x} ) = \frac{1}{ { \cos}^{2}x } \\ \\ 1)V'+ \frac{V}{x} = 0 \\ \frac{dV}{dx} = - \frac{V}{x} \\ \int\limits \frac{dV}{V} = - \int\limits \frac{dx}{x} \\ ln(V) = - ln(x) \\ V= \frac{1}{x} \\ \\ 2)U'V = \frac{1}{ { \cos}^{2} x} \\ \frac{dU}{dx} \times \frac{1}{x} = \frac{1}{ { \cos}^{2} x} \\ U = \int\limits \frac{x}{ { \cos }^{2} x} dx$

решим отдельно:

$\int\limits \frac{x}{ { \cos }^{2} x} dx \\$

по частям:

$F = x \: \: \: \: dF= dx \\ dG = \frac{dx}{ { \cos}^{2} x} \: \: G= tgx$

$FG - \int\limits \: GdF= \\ = xtgx - \int\limits \: tgxdx = \\ = xtgx -\int\limits \frac{ \sin(x) }{ \cos(x) } dx = \\ = xtgx + \int\limits \frac{d( \cos(x)) }{ \cos(x) } = \\ = xtgx + ln( \cos(x) ) + C$

получаем:

$u = xtgx + ln( \cos(x) ) + C$

$z = \frac{1}{x} (xtgx + ln( \cos(x) ) + C) = \\ = tgx + \frac{1}{x} ln( \cos(x) ) + \frac{C}{x} \\ \sqrt{y} = tgx + \frac{1}{x} ln( \cos(x) ) + \frac{C}{x}$

общее решение

2.

$xy'' = y' + 1$

делаем замену, чтобы понизить порядок:

$y'= v(x) \\ y'' = v'(x)$

$xv' = v + 1$

уравнение с разделяющимися переменными

$x \times \frac{dv}{dx} = v + 1 \\\int\limits \frac{dv}{v + 1} = \int\limits \frac{dx}{x} \\ ln(v + 1) = ln(x) + ln(C1) \\ ln(v + 1) = ln(C1x) \\ v + 1 = C1x \\ v = C1x - 1 \\ \\ y' = C1x - 1 \\ y = \int\limits(c1x - 1)dx \\ y = \frac{C1 {x}^{2} }{2} - x + C2$

общее решение

3.

$1)y''-4y'+13=0 \\ y={e}^{kx} \\ {e}^{kx}({k}^{2}-4k+13)=0 \\ D = 16-52=-36 \\ k1=\frac{4+6i}{2}=2+3i \\ k2 = 2-3i \\ y= {e}^{2x}(C1\sin(3x)+C2\cos(3x))$

$у=A{e}^{2x}+Bsin(3x)+Ccos(3x) \\ у'=2A{e}^{2x}+3Bcos(3x)-3Csin(3x) \\ у''=4A{e}^{2x}-9Bsin(3x)-9Ccos(3x)$

$4A{e}^{2x}-9Bsin(3x)-9Ccos(3x)-8A{e}^{2x}-12Bcos(3x)+12Csin(3x)+13A{e}^{2x}+13Bsin(3x)+13Ccos(3x)={e}^{2x}+cos(3x)\\ 9A{e}^{2x}+(4B+12C)sin(3x)+(4C-12B)cos(3x)={e}^{2x}+cos(3x)$

система:

$9A=1 \\ 4B+12C =0 \\ 4C-12B = 1\\ \\ A=\frac{1}{9} \\ B = -\frac{3}{40}\\ C =\frac{1}{40}\\\\у = \frac{1}{9} {e}^{2x}-\frac{3}{40} sin(3x)+\frac{1}{40} cos(3x)$

$y={e}^{2x}(C1\sin(3x)+C2\cos(3x))+\frac{1}{9} {e}^{2x}-\frac{3}{40} sin(3x)+\frac{1}{40} cos(3x)\\$