Рассмотрим треугольник ABC. AB=7, BC=15. DE=10 - средняя линия, поэтому BC=20. Далее, по теореме косинусов, находим косинус угла между хордами из точки A: cos∠A = (7²+15²-20²)/(2*7*15)=-3/5 Теперь рассмотрим угол, который лежит по другую сторону от хорды BC. Поставим по другую сторону от этой хорды точку A'. Тогда ∠A' = 180°-∠A. Поэтому cos∠A' = -cos∠A=3/5, sin∠A'=sin∠A=√(1-(-3/5)²)=4/5. Центральный угол BOC равен удвоенному углу A': ∠ABOC=2∠A'. sin(∠BOC) = 2*sin∠A' * cos∠A' = 2 * 4/5 * 3/5 = 24/25. Тогда, из теоремы синусов, BC = 2R*sin(∠BOC) = D*sin(∠BOC), откуда D = 20/(24/25) = 125/6.
Пусть сумма цифр, стоящих на первых местах, равна a, сумма цифр, стоящих на вторых местах, равна b. По условию 10a + b = 363, после перестановки сумма станет равна 10b + a.
a) Если 10b + a = 363 * 4 = 1452, то 11(a + b) = (10a + b) + (10b + a) = 1815; a + b = 165, тогда a = ((10a + b) - (a + b))/9 = (363 - 165)/9 = 22; b = (10a + b) - 10a = 363 - 220 = 143. Например, если всего чисел 22, на первом месте стоят единицы, на втором в 11 случаях стоит 6, а в остальных 11 случаях – 7, то получившаяся сумма будет в 4 раза больше.
б) Аналогично, 11(a + b) = 363 * 2 + 363 = 363 * 3, a + b = 99. Но тогда a = (363 - 99)/9 – не целое число.
в) Пусть 10b + a = x. Аналогично, a = (3630 - x)/99 = 36 - (x - 66)/99; b = (10x - 363)/99 = 10(x - 66)/99 + 3. a, b должны быть целыми числами, поэтому x должно давать остаток 66 при делении на 99, x = 99k + 66. Максимальное значение x достигается при наибольшем k.
a = 36 - k, b = 10k + 3
Заметим, что b не может быть больше 9a (если цифр n, то a ≥ n * 1, b ≤ 9 * n). Тогда 10k + 3 ≤ 9(36 - k) 19k ≤ 321 k ≤ 16
Максимальное возможное значение x не больше 99 * 16 + 66 = 1650, при этом a = 20, b = 163. Равенство достигается, например, если на доске написаны 17 раз число 18 и 3 раза число 19.
ответ. а) 11 раз число 16, 11 раз число 17; б) нет; в) 1650.
