Задание 2. Известно, что выполняется равенство (a + b + c)(ab + ac + bc) = abc
для чисел a, b, c. Доказать, что сумма каких-то двух чисел равна 0.
Задание 3.
Сравнить: √3tg2(arccos7/10) и 4tg (arcsin7/10) + √3 .
Задание 4.
Доказать неравенство √2 + + 2 – √2 + 2 ≤ √2 + 2 − √3.
Задание 5.
Решить уравнение √4 − х + √х − 2 = х4 – 18 х2 + 83.
Задание 6.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём AD - диаметр
этой окружности. Сумма неравных углов четырёхугольника при вершинах A и D равна 150 градусов. Точки P и Q - центры окружностей, вписанных в ΔABD и в ΔACD, соответственно. Точка F середина дуги AD, не содержащей точек B и C. Доказать, что треугольник PQF равносторонний.
Задание 7.
Некоторые рыцари короля Артура во время пандемии перессорились друг с другом, но не со всеми, причём часть из них села на самоизоляцию. Действующих рыцарей оставалось всего семь. Известно, что если взять любых шестерых из этих рыцарей, то их можно посадить за круглый стол так, что соседом каждого рыцаря (слева и справа) будет рыцарь, с которым он не поссорился. Доказать, что и всех семерых можно рассадить за круглый стол так, что у каждого рыцаря соседями будут рыцари, с которыми он не ссорился.
Задание 8.
Площадь выпуклого четырёхугольника ABCD равна 576,
AB + CD = 50, BC × AD = 527. Найти стороны четырёхугольника.
Первый кран - за 25 часов, а второй - за 20 часов.
Пошаговое объяснение:
Пусть второй кран может разгрузить баржу за часов, тогда первый мог бы сделать это за часов. Тогда производительность второго крана составляет баржи в час, а первого - баржи в час.
По условию задачи первый кран работал все 15 часов, а второй присоединился к нему через 7 часов, значит, он работал часов. Поскольку за это время была разгружена вся баржа, можно составить уравнение:
1/(x+5)*15+(1/x)/8=1
15/(x+5)+8/x=1
15x+8x+40=x^2+5x
x^2-18x-40=0
x(1)=-2 - не подходит по смыслу задачи
x(2)=20 - подходит.
Значит, первый кран мог бы разгрузить баржу за 25 часов, а второй - за 20 часов.