Question

Найти предел
На фото
нужна

Answer 1

$1 - \cos(x) = \cos^2(\frac{x}{2}) + \sin^2(\frac{x}{2}) - (\cos^2(\frac{x}{2}) - \sin^2(\frac{x}{2})) =$

$= 2\sin^2(\frac{x}{2})$

$L = \lim\limits_{x\to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x\cdot\sin(3x)} =$

$= \lim\limits_{x\to 0} \frac{2\sin^2(\frac{x}{2})}{x\cdot\sin(3x)} =$

$= 2\cdot\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin(\frac{x}{2})\cdot\sin(\frac{x}{2})}{x\cdot\sin(3x)}$

При $t \to 0$ имеем $\sin(t) \sim t$.

При $x\to 0$, будет $\frac{x}{2} \to 0$ и $3x\to 0$ и поэтому

$\sin(\frac{x}{2}) \sim \frac{x}{2}$

$\sin(3x) \sim 3x$

$L = 2\cdot\lim\limits_{x\to 0} \frac{\frac{x}{2}\cdot\frac{x}{2}}{x\cdot 3x} =$

$= 2\cdot\lim\limits_{x\to 0} \frac{ x^2\cdot\frac{1}{4}}{3x^2} =$

$= 2\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} = \frac{1}{6}$