Question

Вася, Антон и Степа решали задачи новогоднего марафона. Известно, что

1. Неверно, что если Антон решил все задачи, то Степа – нет;

2. Вася решил все задачи или Степа решил, но не оба вместе.

Введем следующие обозначения:

Антон решил все задачи = А

Вася решил все задачи = В

Степа решил все задачи = С

Запишите первое и второе утверждения задачи на языке алгебры логики:

1.

2.

Определите, кто решил все задачи новогоднего марафона

Answer 1

Первое утверждение: "Неверно, что если Антон решил все задачи, то Степа – нет."

Это утверждение можно записать с помощью символов логики следующим образом:
¬(А → С)

Объяснение:
¬ - символ отрицания, обозначает "не"
→ - символ импликации, обозначает "если... то"

В данном случае, мы отрицаем утверждение "если Антон решил все задачи, то Степа – нет", то есть утверждаем, что это утверждение неверно.

Второе утверждение: "Вася решил все задачи или Степа решил, но не оба вместе."

Это утверждение можно записать с помощью символов логики следующим образом:
В ∨ (С ∧ ¬В)

Объяснение:
∨ - символ дизъюнкции, обозначает "или"
∧ - символ конъюнкции, обозначает "и"
¬ - символ отрицания, обозначает "не"

В данном случае, мы утверждаем, что либо Вася решил все задачи, либо Степа решил, но не оба вместе.

Теперь давайте решим задачу.

Для начала, возможные значения переменных А, В и С можно описать с помощью таблицы истинности:

| А | В | С |
| --- | --- | --- |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |

Теперь, подставим значения переменных в утверждения 1 и 2. Обратите внимание, что в утверждении 2 мы можем использовать значение одной переменной, зависимую от значения другой переменной.

Подставим значения для утверждения 1:
¬(А → С)
¬(0 → 0) = ¬1 = 1
¬(0 → 1) = ¬1 = 1
¬(0 → 0) = ¬1 = 1
¬(0 → 1) = ¬1 = 1
¬(1 → 0) = ¬0 = 1
¬(1 → 1) = ¬1 = 1
¬(1 → 0) = ¬0 = 1
¬(1 → 1) = ¬1 = 1

Подставим значения для утверждения 2:
В ∨ (С ∧ ¬В)
0 ∨ (0 ∧ ¬0) = 0 ∨ (0 ∧ 1) = 0 ∨ 0 = 0
0 ∨ (1 ∧ ¬0) = 0 ∨ (1 ∧ 1) = 0 ∨ 1 = 1
0 ∨ (0 ∧ ¬1) = 0 ∨ (0 ∧ 0) = 0 ∨ 0 = 0
0 ∨ (1 ∧ ¬1) = 0 ∨ (1 ∧ 0) = 0 ∨ 0 = 0
1 ∨ (0 ∧ ¬0) = 1 ∨ (0 ∧ 1) = 1 ∨ 0 = 1
1 ∨ (1 ∧ ¬0) = 1 ∨ (1 ∧ 1) = 1 ∨ 1 = 1
1 ∨ (0 ∧ ¬1) = 1 ∨ (0 ∧ 0) = 1 ∨ 0 = 1
1 ∨ (1 ∧ ¬1) = 1 ∨ (1 ∧ 0) = 1 ∨ 0 = 1

Теперь мы можем определить, кто решил все задачи новогоднего марафона.
Подтверждено, что утверждение 1 всегда истинно, а утверждение 2 может быть как истинным, так и ложным, в зависимости от значений переменных.

Исходя из таблицы истинности, можно сделать вывод, что если утверждение 2 истинно, то все задачи решены Васей. Если же утверждение 2 ложно, то все задачи решены Антоном.

Ответ: Вася может быть тем, кто решил все задачи новогоднего марафона. Если утверждение 2 истинно, то Вася решил все задачи. Если утверждение 2 ложно, то все задачи решил Антон.